Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut,

  Il est pas super commode ton exemple. Je m'y prendrais comme cela, sans être sûr que ce soit la méthode la plus rapide.

D'abord, le $\ln$ m'embête... Comme on peut supposer $x$ aussi grand qu'on veut, on peut supposer que $\ln(x^2+t)+t>0$ et on n'a pas à s'embêter avec les valeurs absolues.

On a aussi $\ln(u)\leq u$ et donc
$$\frac{\ln(x^2+t)+t}{x^5+t^3}\leq \frac{x^2+2t}{x^5+t^3}\leq \frac{x^2}{x^5+t^3}+\frac{2t}{x^5+t^3}$$
et il suffit de faire le travail pour chacune des fonctions à droite. La deuxième ne devrait pas te poser de problèmes.

Pour la première, je séparerai le travail en deux : si $t\in [-5,1]$ et si $t\geq 1$.

Si $t\in [-5,1]$, alors $\frac{x^2}{x^5+t^3}\leq \frac{x^2}{x^5-1}\leq M$
où $M$ est une constante indépendant de $x$, pourvu que $x$ appartienne à $[2,+\infty[$ par exemple. Et les constantes sont intégrables sur les segments.

Si $t>-1$, alors je fixe $t$ et je pose $f(x)=\frac{x^2}{x^5+t^3}$. J'étudie cette fonction (à $t$ fixé) sur $[0,+\infty[$ et je trouve qu'elle admet un maximum en $x=\alpha t^{3/5}$ (sauf erreur de calcul). Cela veut dire que $f(x)\leq f(\alpha t^{3/5})$
et donc que, si $x\in[0,+\infty[$ et $t\geq 1$, alors $\frac{x^2}{x^5+t^3}\leq f(\alpha t^{3/5})$ et j'espère que cette dernière fonction est intégrable!!!

Peut-être que quelqu'un proposera quelque chose de plus simple!

F.

salut, svp aidez moi:

calculer la limite suivante, en utilisant le th de convergence dominee:

[tex]\lim_{x\rightarrow +inf}\int_{-5}^{+inf}{\frac{ln(x^{2}+t)+t}{x^5+t^{3}}}dt[/tex]

[tex]\lim_{x\rightarrow +inf}\frac{ln(x^{2}+t)+t}{x^5+t^{3}}=0[/tex]

comment majorer [tex]\left|\frac{ln(x^{2}+t)+t}{x^5+t^{3}} \right|[/tex] par une fonction h(t) integra sur [-5;+inf[?

merci