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Je remets ce que tu as écris :
$\displaystyle  |\int_\epsilon^R \phi''(c(x)) dx| \le (R-\epsilon) \sup_{x\in [\epsilon,R] }|\phi''|(x) \rightarrow_{\epsilon \rightarrow 0} R  \sup_{x\in [0,R] }|\phi|''(x) < +\infty$

Le fait que le membre de droite admette une limite n'implique pas que le membre de gauche en a une.

La convergence dominée dit que si tu as une suite $f_n$ telle que $|f_n| \le g$ où $g$ est intégrable, alors
$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \int f_n d\mu$ existe et vaut $\displaystyle \int \lim_{n \to \infty}f_n d\mu$

Il faut majorer $|\phi''(c(x))|$ par une fonction intégrable, est non $\displaystyle  |\int_\epsilon^R \phi''(c(x)) dx|$ comme tu l'as fait.

Si on reprend, on cherche la limite du terme
$\displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi'(x)}{x} dx + \dfrac{\varphi(\epsilon)}{\epsilon} - \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + \varphi'(0) \ln \epsilon$

On écrit $\displaystyle \int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi'(x)}{x} dx = \int_{\epsilon}^{1} \dfrac{\varphi'(x)}{x} dx + \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\varphi'(x)}{x} dx$
et
$\displaystyle \varphi'(0) \ln \epsilon = \int_{\epsilon}^1 \dfrac{\varphi'(0)}{x}dx$
ce qui permet d'écrire le terme qui nous intéresse comme :

$\displaystyle\int_{\epsilon}^{1} \dfrac{\varphi'(x)-\varphi'(0)}{x} dx + \dfrac{\varphi(\epsilon)-\varphi(0)}{\epsilon} + \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\varphi'(x)}{x} dx$

On a alors $\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0}\dfrac{\varphi(\epsilon)-\varphi(0)}{\epsilon} = \varphi'(0)$
Le terme $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\varphi'(x)}{x} dx$ ne dépend pas de $\epsilon$ ($\varphi'$ étant à support compact, la borne sup de l'intégrale est au plus $R$ pour un certain $R > 0$) et donc
$\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0}\int_{1}^{+\infty} \dfrac{\varphi'(x)}{x} dx = \int_{1}^{+\infty} \dfrac{\varphi'(x)}{x} dx$

Il ne reste plus que le terme $\displaystyle\int_{\epsilon}^{1} \dfrac{\varphi'(x)-\varphi'(0)}{x} dx$

Par les accroissement finis, on a $\forall x \in ]0,1], \left|\dfrac{\varphi'(x)-\varphi'(0)}{x}\right| \le \|\varphi''\|_\infty$, et par convergence dominée, la limite $\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{1} \dfrac{\varphi'(x)-\varphi'(0)}{x} dx$ existe.

@PTRK
Le fait que $\displaystyle \left|\int_{\epsilon}^{1} \dfrac{\varphi'(x)-\varphi'(0)}{x} dx \right| \le M$ n'est pas suffisant pour conclure à l'existence de la limite.

Attention dans tes dernières affirmations, $c$ dépend de $x$ donc on a pas encore prouvé que c'est intégrable.
Par contre puisque $\phi$ est $C^\infty$, je pense que tu peux majorer $\phi''$ par son sup sur $[\epsilon,R]$ ce qui te donnerait
\[ \displaystyle
|\int_\epsilon^R \phi''(c(x)) dx| \le (R-\epsilon) \sup_{x\in [\epsilon,R] }|\phi''|(x) \rightarrow_{\epsilon \rightarrow 0} R  \sup_{x\in [0,R] }|\phi|''(x) < +\infty
\]

Bonjour,
Il y a une erreur dans ce que tu as écris, Je ne vois pas d'où vient le terme $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \dfrac{1}{x}dx$ ?
Le terme dont j'ai parlé est $\displaystyle \int_{\varepsilon}^{1} \dfrac{1}{x}dx$

Sur ta première question, il s'agit de propriété de base des limites. Si $f(x)=g(x)+h(x)$ et que $\displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to x_0} h(x)$ existent, alors $\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x)$ existe et on a
$\displaystyle \lim_{x \to x_0} f(x) = \displaystyle \lim_{x \to x_0} g(x) + \displaystyle \lim_{x \to x_0} h(x)$

Sur ta deuxième question : support de $\varphi'$ compact, accroissements finis et convergence dominée. Il n'y a pas besoin de lien avec la valeur principale de $1/x$.

Le terme $\displaystyle \dfrac{\varphi(\epsilon)-\varphi(0)}{\epsilon}$ est sous contrôle
Il faut donc s'occuper du reste.
Il faut commencer par écrire $\displaystyle \ln(\epsilon) = -\int_{\epsilon}^1 \dfrac{1}{x}dx$, ce et découper l'intégrale en deux morceaux : $\displaystyle \int_{\epsilon}^\infty \cdots = \int_{\epsilon}^1 \cdots + \int_{1}^\infty \cdots$.
Le terme $\displaystyle \int_{1}^\infty \cdots$ est sous contrôle également.
Il ne reste plus qu'à montrer que la limite suivante existe :
$\displaystyle \lim_{\epsilon \to 0} \int_{\epsilon}^{1} \dfrac{\varphi'(x)-\varphi'(0)}{x} dx$

Bonjour,
Je commencerais d'abord par une IPP qui permet d'écrire :
$\displaystyle \int_{\varepsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} = \dfrac{\varphi(\varepsilon)}{\varepsilon} + \int_{\varepsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi'(x)}{x}$
Ce qui permet de se rapprocher de la piste donnée par PTRK.

Bonjour,
j'essaye de montrer que
$$
\langle Pf(\dfrac{H}{x}),\varphi \rangle = \lim_{\epsilon \to 0} \left[ \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx - \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + \varphi'(0) \ln \epsilon \right].
$$
est une distributon.

On commence par montrer que $Pf(\dfrac{1}{x^2})$ est bien définie. Voilà ce que j'ai fait.
On pose
$$
u_{\epsilon}= \displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx - \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + \varphi'(0) \ln(\epsilon).
$$
Puisque $\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})$, il existe $R >0$ tel que $Supp \varphi \subset [-R,R]$, et donc on écrit:
$$
u_{\epsilon}= \displaystyle\int_{\epsilon}^R \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx - \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + \varphi'(0) \ln(\epsilon).
$$
Le développement de Taylor-Lagrange de $\varphi$ au point $x$ au voisinage de 0, est:
$$
\varphi(x)= \varphi(0) + x \varphi'(\xi_x), \ \xi_x \in (0,x).
$$
Ainsi, on a:
$$
u_{\epsilon}= \displaystyle\int_{\epsilon}^R \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^R \dfrac{\varphi'(\xi_x)}{x} dx - \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + \varphi'(0) \ln(\epsilon).
$$
et puisque que
$$
\displaystyle\int_{\epsilon}^R \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx = \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} - \dfrac{\varphi(0)}{R},
$$
on a
$$
u_{\epsilon}= -\dfrac{\varphi(0)}{R} + \varphi'(0) \ln(\epsilon) + \displaystyle\int_{\epsilon}^R \dfrac{\varphi'(\xi_x)}{x} dx.
$$
Ma question est comment finir pour coclure que $\lim_{\epsilon \to 0} u_{\epsilon}$ existe? Le terme $\displaystyle\int_{\epsilon}^R \dfrac{\varphi'(\xi_x)}{x} dx$ me fait peur.
Je vous remercie par avance pour votre aide.