Forum de mathématiques - Bibm@th.net

oui Yassine, ca je l'ai compris. Mais ma question est: comment obtenir le support de [tex]\sin(nx)?[/tex] qui est l'adhérence des points où [tex]\sin(nx)[/tex] ne s'annulle pas?

Bonjour,
pourquoi la suite
[tex]f_n(x)= \sin(nx)[/tex] n'est pas une fonction test? Quel est son support? S'il vous plaît.
Merci par avance.

Attention,
d'abord $\chi(0)=1$ et non $\chi(0)=0$
Ensuite, il faut que la fonction soit constante au voisinage d'un point. Ce n'est pas parce que $f(x)=0$ que $f'(0)=0$ !
Donc, $(\exists \epsilon > 0, \forall x \in ]x_0-\epsilon, x_0+\epsilon[, f(x_0)=c) \Rightarrow f'(0)=0$

Le truc pour trouver les fonctions, c'est ce que tu es en train de faire : des exos !
Tiens, encore une que tu connais forcément mais à laquelle tu n'a pas pensée : $f_n(x)=\sin(nx)$, alors $f'_n(0)=n \cos(0)=n$

Un exemple parmi d'autres, la fonction sigmoïde : $\displaystyle f_n(x) = \frac{1}{1+e^{-nx}}$

Tout de même !
Que vaut la dérivé d'une fonction en un point si elle est constante au voisinage de ce point ?

Bonjour,
Comme je l'avais déjà indiqué, tu ne peux pas y arriver avec juste une (ou des) fonction(s) plateau.

Je vais te donner le schéma de la preuve :
On suppose qu'on dispose d'une suite de fonctions $f_n \in C^\infty(\Omega)$ (ce ne sont pas forcément des fonctions tests) telles que :
$\forall n, \|f_n\|_\infty \le 1$ :  fonctions bornées par $1$
$\forall n, f'_n(0) = n$ :  Il faut que la tangente en zéro soit aussi proche de la verticale qu'on le souhaite

Je te laisse chercher de telles fonctions.

Soit maintenant une fonction plateau $\chi$ qui vaut $1$ sur $[-1,1]$ (j'aurai pu choisir [$-\sqrt{2}, \frac{1}{\sqrt{\pi}}]$, ça n'a pas d'importance, il faut juste que ça contienne un ouvert qui contient $0$).
On a alors $\chi(0)=1$ et $\chi'(0)=0$ (pourquoi ?)

Soit maintenant $\varphi_n = f_n \chi$. $\varphi_n$ est une fonction test pour tout $n$ (pourquoi ?)
Calculer $\varphi'_n(0)$, conclure

D'abord, on est pas obligé de passer par $\mathbb{N}$, on peut montrer directement ça avec $\mathbb{R}$. Mais ça peut être pratique parfois.
Il faut donc montrer l'équivalence des deux propositions suivantes :
Propositions (1)
$\forall c \in \mathbb{R}, \exists K_c , \exists \varphi_c, \varphi_c'(0) \ge c P_{K_c,0}(\varphi_c)$

Propositions (2)
$\forall n \in \mathbb{N}, \exists K_n , \exists \varphi_n, \varphi_n'(0) \ge n P_{K_n,0}(\varphi_n)$

Le sens (1) => (2) est trivial.
On regarde le sens (2) => (1).

Soit donc $c \in \mathbb{R}$ quelconque. Posons $n = \lfloor|c|\rfloor + 1$. On a bien sûr $n > c$.
En vertue de la proposition (2), il existe $K_n$ compact et $\varphi_n$ tels que  $\varphi_n'(0) \ge n P_{K_n,0}(\varphi_n)$. Comme $n > c$ et $P_{K_n,0}(\varphi_n) \ge 0$, alors on a $n P_{K_n,0}(\varphi_n) > c P_{K_n,0}(\varphi_n)$. Posons $K_c = K_n$ et $\varphi_c = \varphi_n$, on a alors $\varphi_c'(0) = \varphi_n'(0) \ge n P_{K_n,0}(\varphi_n) \ge c P_{K_n,0}(\varphi_c)$. On a donc la proposition (1).

Bonjour,

On dit : "soit une constante $C$", sans rien préciser sur $C$ et qu'on démontre une propriété $P(C)$, alors, on a démontré que $\forall C, P(C)$

Je vais illustrer ça par un petit jeu entre toi et moi. Suppose que tu doives choisir une fonction (qu'on note $tin$) dont la valeur en $0$ soit le double d'un nombre que je choisis (qu'on note $yas$).
Si c'est moi qui commence et dévoile le nombre $yas$, il n'y a aucune difficulté, tu donneras la fonction $tin(x)=x+2yas$ par exemple (tu remarqueras au passage que $tin$ dépend de $yas$). ça correspond à la proposition $\forall C \in \mathbb{R}, \exists f \in C^\infty(\mathbb{R}), f(0)=2C$. Peu importe le nombre que je choisis, tu trouvera une fonction qui satisfait la propriété requise. Cette fonction sera bien sûr différente à chaque partie. Si on joue indéfiniment, tu "fabriqueras" une infinités de fonctions, une pour chaque nombre que je donne. C'est ce qu'on matérialise par la famille⁽¹⁾ de fonctions $(tin_{yas})_{yas \in \mathbb{R}}$.

Si maintenant, c'est à toi de démarrer, tu n'as aucune chance. Quelque soit la fonction que tu donnes, je l'évalue en $0$ et je choisi un nombre différent de la moitié de cette valeur. ça correspond à la proposition $ \exists f \in C^\infty(\mathbb{R}), \forall C \in \mathbb{R}, f(0)=2C$

Dans le cas qui nous préoccupe, on est dans la première situation (j'oublie volontairement le compact $K$ pour simplifier) :
$\forall C \in \mathbb{R}, \exists \varphi \in \mathcal{D}(\Omega), \varphi'(0) > C\|\varphi\|_{\infty}$

Pour chaque constante $c$ (je prend minuscule, ça s'affiche mieux) que je vais te donner, tu dois donner une fonction $\varphi$ qui convient. L'expression que tu va trouver de $\varphi$ va obligatoirement dépendre de $c$, c'est pourquoi on utlise la notation $\displaystyle \varphi_c$ pour souligner cette dépendance. Tu vas donc également trouver une famille de fonctions $\displaystyle (\varphi_c)_{c \in \mathbb{R}}$.

J'espère que c'est un peu plus clair.

(1) : Une famille est un concept plus général que suite : c'est une collection d'objets indicés par une partie quelconque. Par exemple $(\sin(nx))_{n \in \mathbb{N}}$ est une suite de fonctions alors que $(\sin(tx))_{t \in \mathbb{R}}$ est une famille de fonctions. Une suite est une famille dénombrable.