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C'est presque ça.
Le presque venant du fait qu'on prend l'adhérence de l'ensemble des point où elle ne s'annule pas. Donc, il peut y avoir des points du support où la fonction est nulle.
Ce qui est sûr, c'est que $\psi(x) \neq 0 \Rightarrow x \in supp(\psi)$.

Donc, $\forall x \in K'_i, \psi(x) = 1 \Rightarrow \psi(x) \neq 0 \Rightarrow x \in supp(\psi)$, et donc $K'_i \subset supp(\psi)$.

Bonsoir,
En effet les $K'_i$ sont des ouverts, mais ils sont inclus dans la support de $\psi_i$ qui est un compact (car $\psi_1$ vaut $1$ sur $K'_i$).
Il suffit donc de remplacer la ligne
Par ailleurs, pour tout $i$, $K'_i$ est un compact. Donc $\exists R_n > 0$ tel que $K'_i \subset [-R_n,R_n]$.
par la ligne
Par ailleurs, pour tout $i$, $K'_i$ est inclut dans $supp(\psi_i)$ qui est compact. Donc $\exists R_n > 0$ tel que $K'_i \subset supp(\psi_i) \subset [-R_n,R_n]$.

J'ai gardé des intervalles, mais tu peux les remplacer par des boules dans le cas $\mathbb{R}^n$.

Il n'a pas de nom particulier : $\left(\overline{B(0,R)}\right)^c = \{x \in \mathbb{R}^N\ | \ |x| > R \}$.
Ce qui est important, c'est que si $\left(\overline{B(0,R)}\right)^c \subset A$, alors $A$ est non borné et ne peut donc pas être un compact.

Bonjour,
Le raisonnement est essentiellement le même. Un compact dans $\mathbb{R}^N$ sera inclut dans une boule fermée $\overline{B(0,R)}$. Tu arriveras à montrer que le complémentaire de cette boule est inclut dans le support de $\psi_0$, qui ne peut donc être borné.

Il faut reprendre les définitions :
$\rm{supp}(\psi_0) = \overline {\{ x \in \mathbb{R}, \psi_0(x) \neq 0 \}} = \overline{V^c} = \overline{\left(\cup_{i=1}^n K'_i\right)^c}$
Soit encore $\rm{supp}(\psi_0)= \overline{\cap_{i=1}^n (K'_i)^c}$

Par ailleurs, pour tout $i$, $K'_i$ est un compact. Donc $\exists R_n > 0$ tel que $K'_i \subset [-R_n,R_n]$. Je note $\displaystyle R=\sup_{i}R_i$, on a alors $\displaystyle \forall i, K'_i \subset [-R, R]$ et donc $\displaystyle \forall i, \left([-R, R]\right)^c \subset (K'_i)^c$,
soit encore $\displaystyle \left([-R, R]\right)^c \subset \cap_{i=1}^n (K'_i)^c \subset \overline{\cap_{i=1}^n (K'_i)^c}$ (Si un ensemble $A$ est inclut dans chaque ensemble d'une famille $(B_i)$ alors il est inclut dans $\cap_i B_i$).

Finalement, on a $\displaystyle \left([-R, R]\right)^c  = ]-\infty,-R[\cup]R,+\infty[ \subset \rm{supp}(\psi_0)$, ce qui montre que $\displaystyle \rm{supp}(\psi_0)$ est non borné.

Bonjour Tina,
Je suis un peu perdu. Est-ce que ta notation de $\theta$ et $\varphi$ fait référence au post #15 (il ne contient pas de définition de $\varphi$) ?
Pourrais-tu refaire un recap de ce qui te pose encore problème ?

Bonjour,
Soit $\varphi$ à support compact, donc $\exists R > 0$ tel que $supp(\varphi) \subset [-R, R]$.
Je note $V = \left(supp(\varphi)\right)^c = ]-\infty, -R[ \cup ]R, +\infty[$ le complémentaire du support.
Par définition du support, $\forall x \in V$, $\varphi(x) = 0$. et donc $\forall x \in V, 1-\varphi(x) \neq 0$. Donc $V \subset supp(1-\varphi)$. On en déduit que $supp(1-\varphi)$ n'est pas borné (car $V$ est non borné) et ne peut donc pas être un compact (les compacts de $\mathbb{R}$ sont les fermés bornés).