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La question portait sur $\Omega$ qui est l'ensemble de départ sur lequel on va définir des fonctions test, des fonctions localement intégrables et des distribution et on exige seulement qu'il soit ouvert, pas forcément borné (on prend d'ailleurs souvent $\Omega = \mathbb{R}$.
Les fonctions tests, avant d'être à support compact, sont $C^\infty$ sur $\Omega$. Elle doivent donc être indéfiniment dérivables sur n'importe quel point de $\Omega$.

Dans ce cas, la continuité et différentiabilité en $-1$ et $1$ ne serait pas bien définie (il faudrait parler de continue et dérivable à droite ou à gauche. Et en dimension supérieur à $1$, ce n'est plus jouable).

Je vais tenter d'illustrer le point en prenant un exemple particulier simple.
On considère l'ouvert $\Omega = ]-1,1[$ , et je considère une fonction $\varphi$ dont le support est un intervalle fermé non vide $[a,b]$. Comme on exige que le support compact est dans $\Omega$, on a alors $[a,b] \subset ]-1,1[$, et donc forcément $-1 < a < b < 1$. L'intervalle $]-1,a[$ est donc non vide et d'intersection vide avec le support de $\varphi$.
Donc $\forall x \in ]-1,a[, \varphi(x) = 0$.
C'est ce qu'a voulu dire la personne dont tu cites un passage, la fonction s'annule à partir de $a$ (non inclu), bien avant d'arriver à la frontière de $\Omega$ qui est $-1$ dans ce cas.

C'est ce cas qui se généralise pour un support compact quelconque. Intuitivement, si un compact est inclut dans un ouvert, "il reste forcément de la marge" entre la frontière du compact et le bord de l'ouvert (ça vient du fait que le compact est fermé).

Bonjour,
Dans la définition des distributions, on part d'un ouvert non vide $\Omega$ de $\mathbb{R}^N$ et on définit l'espace vectoriel des fonctions test $\mathcal{D}(\Omega)$ comme l'ensemble $C^\infty_c(\Omega)$ des fonctions définies sur $\Omega$, indéfiniment dérivables et à support compact inclut dans $\Omega$.

Si la question est pourquoi pour la définition des distribution, on choisit un ouvert, je dirais que comme on va s'intéresser à des questions topologiques (continuité, convergence, etc), il me semble naturel de choisir un ouvert (je ne vois pas trop ce que ça donnerait si on prenait $\mathbb{Q}$ ou $\mathbb{Z}$ comme cadre).

C'est bien compris. Merci beaucoup!

Ok. Alors
le quotient de deux fonctions de classe [tex]C^\infty[/tex] est directement de classe [tex]C^\infty[/tex], et [tex]Supp f_0= Supp g = [-1,1].[/tex]
C'est bon?
Merci beaucoup.

Ah, j'ai oublié une dérnière question s'il vous plaît. Quels arguments donner pour dire que [tex]f_0 \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]?

1a. Je n'ai pas dit qu'il faut que la série soit finie pour qu'elle soit de classe $C^\infty$.
Si on prend une fonction $\psi \in C^\infty$, la somme $\sum_{n \in \mathbb{Z}} \psi(x+n)$ n'a pas toujours un sens. Donc, avant même de regarder si elle est $C^\infty$, il faut d'abord s'assurer qu'elle est bien définie. Exemple 1 : $\psi(x)=x$, la somme diverge. Exemple 2 : $\psi(x) = e^{-x^2}$, la somme converge.
Dans le contexte de l'exercice, le fait que la fonction $\varphi(x)$ soit à support compact nous donne une condition suffisante (et non nécessaire) pour que la somme soit définie : l'ensemble $\{ n \in \mathbb{Z} \ | \ \varphi(x+n) \neq 0\}$ est fini.

2. Non, il ne faut pas prendre $n = 2x - [x]$, ce nombre n'est en général pas un entier relatif.
Il faut prendre $n = -[x]$ et on a $0 \le x - [x] < 1$.