Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonsoir,
Désolé Tina, je ne suis pas sûr de bien comprendre.
Tu dis "quand on montre la continuité...", tu fais référence à quelle démonstration ?

Dans la définition d'une distribution, la condition de continuité requise est : $\displaystyle |\langle T,\varphi \rangle| \leq C_K \max_{|\alpha|\leq p_K} \sup_{x\in K} |D^{\alpha} \varphi(x)|$.
Ça ne se démontre pas, ça fait partie de la définition d'une distribution.

Si on se place dans le cas $\mathbb{R}$ pour oublier les multi-indices cette condition s'écrie :
$\displaystyle |\langle T,\varphi \rangle| \leq C_K \max_{n\leq p_K} \sup_{x\in K} | \varphi^{(n)}(x)|$.
Soit, de manière plus verbeuse :
$\displaystyle |\langle T,\varphi \rangle| \leq C_K \max\left(\sup_{x\in K} | \varphi(x)|,\ \sup_{x\in K} | \varphi'(x)|, \cdots, \sup_{x\in K} | \varphi^{(P_K)}(x)|\right)$.
L'introduction $P_{K,p_k}$ est la uniquement pour simplifier l'écriture, il n'y a aucun élément nouveau apporté par cette notation.

Ce qu'il faut noter, c'est l'ordre des quantificateurs : $\forall K, \exists p_K, \forall \varphi$ blabla
L'entier $p_K$ dépend du compact : Dis-moi quel compact et je te dirais quel entier marche pour ce compact.
Maintenant, pour certaines distributions, on peut trouver un entier $p$ qui marche pour tout les compacts. Dans ce cas, on dit que la distribution est d'ordre $\le p$.

Quand tu dis "on passe de ... à ...", qui est ce "on" ?
On ne peut pas faire ce passage.
Si on veut montrer que $X \le \max(A,B,C)$, sans autre information sur $A$, $B$ et $C$, il faut montrer les trois inégalités :  $X \le A$ et $X \le B$ et $X \le C$.

--EDIT--
J'ai raconté une bêtise. Si on veut montrer que $X \le \max(A,B,C)$, ce que j'ai proposé est trop fort, il démontre que $X \le \min(A,B,C)$. Il faut trouver $\max(A,B,C)$ et montre que $X$ est inférieur à ce nombre.

Personne.
Il ne s'agit pas de montrer que :
$\langle T, \varphi \rangle \leq C sup |\varphi''(x)|$ et $\sup |\varphi''(x)| \leq \max( \sup |\varphi(x)|, \sup |\varphi'(x)|, \sup |\varphi''(x)|)$
mais de montrer que
$\displaystyle \langle T, \varphi \rangle \leq C\left[\max\left( \sup_{x\in K} |\varphi(x)|,\ \sup_{x\in K} |\varphi' (x)|,\ \sup_{x\in K} |\varphi'' (x)|\right)\right]$,
ce qui n'est pas la même chose (la deuxième condition est moins forte).

La définition de l'ordre nécessite que le nombre $\langle T, \varphi \rangle$ soit bornée par (à une constante multiplicative près) la norme sup de toutes les dérivées de $\varphi$, jusqu'à $p$. La condition que tu donnes est plus faible.

Bonjour,
Si on a
$\displaystyle \langle T, \varphi \rangle \leq C \sup_{x\in K} |\varphi'' (x)|$, Ce n'est pas suffisant pour conclure, il faudrait avoir
$\displaystyle \langle T, \varphi \rangle \leq C\left[\max\left( \sup_{x\in K} |\varphi(x)|,\ \sup_{x\in K} |\varphi' (x)|,\ \sup_{x\in K} |\varphi'' (x)|\right)\right]$
Dans ce cas, avec l'introduction de $P_{K,m}$ ça s'écrit :
$\displaystyle \langle T, \varphi \rangle \leq C P_{K,2}(\varphi)$
Et on conclue alors que $T$ est une distribution d'ordre $\le 2$.

Pour montrer qu'elle est d'ordre $2$, il faut montrer que la majoration avec $P_{K,2}$ est "optimale", c'est à dire que si on utilisait uniquement $P_{K,1}$, alors ça ne marcherait pas, c'est à dire, pour n'importe quelle constante $C$, on trouverait une fonction test $\varphi$ qui violerait l'inégalité, à savoir telle que $\displaystyle \langle T, \varphi \rangle > C P_{K,1}(\varphi)$

Le fait qu'elle soit croissante vient de la définition : $\displaystyle p \le q \Rightarrow \max_{n \le p} f(n) \le \max_{n \le q} f(n)$. Souligner le fait que $\displaystyle P_{K,m}(\varphi)$ est croissante permet de parler de la valeur minimale de $m$.

Pour l'ordre, on a une certaine propriété qu'une distribution peut vérifier pour un entier $p$, on sait que si elle vérifie cette propriété pour un entier $p$, alors elle la vérifie aussi pout tout $q \ge p$. Par contre, elle ne la  vérifie pas en général pour $q < p$.  Il est alors naturel de s'intéresser au plus petit entier qui marque la limite. Au dessus (au sens large), la condition de continuité est assurée, en dessous (au sens strict), la condition n'est pas assurée. C'est cet entier limite qu'on appelle L'ordre de la distribution.

Bonjour Tina,
Si on reviens à la définition d'une distribution, la condition est : Pour tout compact $K \subset \Omega$, il existe une constante $C_K$ (noter la dépendance de la constante avec le compact $K$) et $p_K \in \mathbb{N}$ (noter aussi la dépendance de $p_K$ avec le compact $K$) tels que pour toute fonction test $\varphi$ de support $K$, on ait la condition de continuité :
  $\displaystyle |\langle T,\varphi \rangle| \leq C_K \max_{|\alpha|\leq p_K} \sup_{x\in K} |D^{\alpha} \varphi(x)|.$

Si $p_K$ peut être choisi indépendamment de $K$, c'est à dire qu'il existe $p \in \mathbb{N}$ tel que pour tout $K \subset \Omega$ on ait $p_K \le p$. Dans ce cas, on dit que $T$ est une distribution d'ordre $\le p$ (le $\le$ vient du fait que si $p$ vérifie la condition, il en est de même de n'importe quel $q \ge p$). On appelle alors "ordre de la distribution $T$" le plus petit entier $m$ tel que $T$ soit une distribution d'ordre $\le m$. C'est ce $m$ qui est repris dans la définition de $P_{K,m}(\varphi)$.

--EDIT--
Devancé par Fred.

Alors
[tex]
P_{K,m}(\varphi)= Sup_{|\alpha|\leq m, x\in K} |D^{\alpha} \varphi(x)|.
[/tex]
Avec cette définition, pouvez vous m'aider  avec la question de mon premierpost? S'il vous plait
Je vous remercie par avance.