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Bonjour,
je cherche  à résoudre l'équation [tex]xu=H+c[/tex]. Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}).[/tex]
Puisque [tex]x \in C^\infty[/tex], et que le produit une fonction test par une fonction [tex]C^\infty[/tex], est une fonction test, alors [tex]\psi=x \varphi \in \mathcal{D}(\R)[/tex]. On a
pour [tex]x \neq 0[/tex]
\begin{align*}
<u,\psi> & = \displaystyle\int_0^\infty \varphi(x) dx + c \displaystyle\int_0^\infty \varphi(x) dx\\
&= \dfrac{1}{x} \displaystyle\int_0^\infty \psi(x) dx+ c  \dfrac{1}{x} \displaystyle\int_0^\infty \psi(x) dx
\end{align*}
Par identification,
[tex]u= \dfrac{1}{x}(1+c)[/tex] sur [tex]]0,+\infty.[/tex]
C'est bien? Mais comment le définir endehors de [tex]]0,+\infty[?[/tex]
Merci par avance.