Forum de mathématiques - Bibm@th.net
Vous n'êtes pas identifié(e).
- Contributions : Récentes | Sans réponse
- Accueil
- » Entraide (supérieur)
- » Dérivée double discrète.
- » Répondre
Répondre
Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 29-04-2016 14:46:06
Je n'avais pas bien regardé ce que tu as fait, mais en y réfléchissant un peu, si tu fais [tex]dx1=dx2[/tex] et [tex]dy1=dy2[/tex], c'est sans doute la même chose que moi.
F.
- dike
- 29-04-2016 13:25:35
OK Fred,
Si j'ai bien compris, mon résultat est juste quand même mais ça ne fait rien : ton raisonnement est rigoureux et général, je le retiens volontiers !
Merci & à la prochaine,
dike :-)
- Fred
- 29-04-2016 12:49:48
Bonjour,
Je vais reprendre ce que voulait faire Roro car sa démarche permet de calculer une approximation discrète de n'importe quelle dérivée.
Tu veux calculer [tex]\frac{\partial^2 a}{\partial x\partial y}(x,y)[/tex]. Il faut y aller par étape.
Posons d'abord [tex]g(x,y)=\frac{\partial a}{\partial y}(x,y)[/tex]. Tu veux une valeur approchée de [tex]\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)[/tex].
Pour cela, tu es dans un problème d'une seule variable, il te suffit d'écrire :
[tex]\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)\simeq \frac{g(x+dx,y)-g(x-dx,y)}{2dx}[/tex]
Il te reste à trouver une valeur approchée de [tex]g(x+dx,y),\ g(x-dx,y)[/tex]. Pour que ce soit plus facile, je vais changer les variables en u,v et regarder :
[tex]g(u,v)=\frac{\partial a}{\partial v}(u,v)\simeq\frac{a(u,v+dv)-a(u,v-dv)}{2dv}[/tex]. En revenant aux variables initiales, on a donc
[tex]g(x+dx,y)\simeq \frac{a(x+dx,y+dy)-a(x+dx,y-dy)}{2dy}[/tex]
et de même
[tex]g(x-dx,y)\simeq \frac{a(x-dx,y+dy)-a(x-dx,y-dy)}{2dy}[/tex]
Il suffit de tout remettre ensemble ensuite.
F.
- dike
- 29-04-2016 12:23:43
Attends,
Je crois que l'on peu raisonner comme suit (en terme de "variation de pente", ou "pente de la pente", ce qui rejoint la définition) :
Si on cherche [tex]\frac{\partial a\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}[/tex] pour un point (x,y) précis,
Et que l'on connaît les 4 valeurs suivantes :
a(x-dx1,y-dy1)
a(x+dx2,y-dy1)
a(x-dx1,y+dy2)
a(x+dx2,y+dy2)
Alors, sachant que la pente en y=y-dy1 vaut : p1=[tex]\frac{a(x+dx2,y-dy1)-a(x-dx1,y-dy1)}{dx1+dx2}[/tex]
Et, sachant que la pente en y=y+dy2 vaut : p2=[tex]\frac{a(x+dx2,y+dy2)-a(x-dx1,y+dy2)}{dx1+dx2}[/tex]
Alors, la variation de cette pente, c'est-à-dire [tex]\frac{\partial a\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}[/tex] vaut là [tex]\frac{p2-p1}{dy1+dy2}[/tex]
Donc [tex]\frac{\partial a\left(x,y\right)}{\partial x\partial y}[/tex] ~ [tex]\frac{a(x+dx2,y+dy2)-a(x-dx1,y+dy2)-a(x+dx2,y-dy1)+a(x-dx1,y-dy1)}{(dx1+dx2)(dy1+dy2)}[/tex]
Il me paraît logique que cela tende vers la définition exacte si dx1, dx2, dy1, dy2 tendent vers zéro, qu'en penses-tu stp ?
A+
dike
- dike
- 29-04-2016 10:28:36
Merci bien Roro,
Et je ne comprends pas comment itérer la formule que tu me proposes ainsi -> [tex]f'\left(x\right)\sim \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x-h\right)}{2h}[/tex]
Mettons pour simplifier que l'on connaisse, pour un certain point x,y :
a(x , y)
a(x+dx , y)
a(x-dx , y)
a(x , y+dy)
a(x , y-dy)
(on connait bien entendu dx et dy)
Alors stp comment itérer ? Que faire avec p.ex. [tex]\frac{\partial a\left(x,y\right)}{\partial x}\sim\frac{a\left(x+dx,y\right)-a\left(x-dx,y\right)}{2dx}[/tex] ?
Volontiers A+
dike :)
- Roro
- 28-04-2016 18:06:17
Bonjour dike,
Le plus simple est d'utiliser une formule classique pour approcher la dérivée première : [tex]f'(x) \approx \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}[/tex] (dont on peut montrer que c'est une relativement bonne approximation lorsque h est petit, en utilisant par exemple une formule de Taylor).
Tu peux ainsi trouver une approximation de [tex]\frac{\partial a}{\partial x\partial y}[/tex] est écrivant \frac{\partial a}{\partial x\partial y} = \frac{\partial}{\partial x} \frac{\partial a}{\partial y} et en itérant deux fois la formule précédente.
Une autre possibilité est de voir ta dérivée seconde comme un laplacien dans d'autres coordonnées (du style [tex]u=x+y[/tex], [tex]v=x-y[/tex] - je n'ai pas vérifié). Dans ce cas tu peux utiliser directement la formule que tu évoques pour les dérivées secondes.
Mais dans tous les cas, il te faudra plus de points que seulement [tex]a(x,y)[/tex], [tex]a(x+dx,y+dy)[/tex] et [tex]a(x-dx,y-dy)[/tex].
Roro.
- dike
- 28-04-2016 14:27:46
Bonjour tout le monde,
J'ai un problème à résoudre et ce qui suit pourrait m'aider :
Supposons une fonction de deux variables : a(x,y)
J'aurais besoin d'une méthode pour approximer d2a/dxdy ("d" voulant dire "dérivée partielle") en fonction de dx, dy, a(x,y), a(x+dx,y+dy) et s'il le faudra de a(x-dx,y-dy) ; du genre à la formule qui permet d'estimer d2b/dx2 (d'une autre fonction b(x)) en fonction de dx, b(x) b(x+dx), b(x-dx) que voici.
Quelqu'un pourrait-il svp m'aider ?
Merci d'avance, cordialement,
dike