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l'exercice est posé dans le cadre des transformée de Fourier. Donc expliquez moi please.
Le fait que les deux normes soient égales nous dit que c'est une isométrie? C'est bien ca?
Ca ne nous dit pas que c'est une application bijective?
Et aussi, un isomorphisme c'est bien une bijection. Non?
Merci beaucoup.

non je ne le sais pas, c'est écrit dans le livre directement que de 1 et 2 on déduit que c'est un isomorphisme bijectif.

Bon alors récapitulons pour cet exercice.
1. Montrer que [tex]\forall \varphi \S: ||\varphi||_{L^2}= (2 \pi)^{-n/2} ||\widehat{\varphi}||_{L^2}[/tex]
Pour ca, on commence par montrer que
[tex]
\forall f,g \in S: <f,g>_{Lç2}= (2 \pi)^{-n} <\widehat{f},\widehat{g}>_{L^2}.
[/tex]
D'après la formule d'inversion de Fourier, on a:
[tex]
f(x)=(2 \pi)^{-n} \widehat{\widehat{f}}(x)
[/tex]
Ainsi:
[tex]
<f,g>=\displaystyle\int_= f(x) \bar{g}(x) dx = (2 \pi)^{-n} \displaystyle\int \widehat{\widehat{f}}(-x) \bar{g}(x) dx
[/tex]
[tex]
= (2 \pi)^{-n} \displaystyle\int [\displaystyle\int \widehat{f}(\xi) e^{i x \xi}d \xi] \bar{g}(x) dx
[/tex]
par Fubini, on a
[tex]
= (2 \pi)^{-n}\displaystyle\int[\displaystyle\int \bar{g}(\xi) e^{i x . \xi} d\xi] \widehat{f}(x) dx
[/tex]
et là, je veux bien écrire que c'est égale à [tex](2 \pi)^{-n} <\widehat{f},\widehat{g}>[/tex] mais en faite
[tex]
\displaystyle\int \bar{g}(\xi) e^{i x . \xi} d\xi= \widehat{\bar{g}}(-x).
[/tex]
Ca ne pose pas problème?

2. Montrer que [tex]||T||_{L^2}= (2 \pi)^{-n/2} ||\widehat{T}||_{L^2}[/tex]
de la question 1, on a que
[tex]||T_j||_{L^2}= (2 \pi)^{-n/2} ||\widehat{T_j}||_{L^2}[/tex]
et puisque la transformée de Fourier est continue dans[tex] L^2[/tex], l'hypothèse de [tex]T_j \to T[/tex] dans [tex]L^2[/tex] implique que [tex]\widehat{T_j} \to \widehat{T}[/tex] dans [tex]L^2[/tex]
ainsi, on a l'égalité souhaitée.
On a pas besoin du fait que L^2 soit complet?

3/ En déduire que l'application [tex]T \to (2 \pi)^{-n/2} \widehat{T}[/tex] est un isomorphisme bijectif. Quels arguments donner pour ca?
Merci beaucoup.

Et pour la question 2: montrer que
[tex]
||T||_{L^2}=(2 \pi)^{-n/2} ||\widehat{T}||_{L^2}
[/tex]
pourquoi on ne peut pas appliquer la question 1 directement à T?
et est-ce qu'il y a une manière simple de répondre à cette question?
Merci  beaucoup.

Voici ce que je trouve. Le théorème d'inversion locale nous dit que [tex]F(F(f))(x)=f(-x)[/tex]
On a:
[tex]
<f,g>= \displaystyle\int f(x) \bar{g(x)} dx = \displaystyle\int F(F(f))(-x) \bar{g(x)} dx = \displaystyle\int (\displaystyle\int F(f) e^{ixt} dt] \bar{g}(x) dx
[/tex]
Puis par Fubini on a
[tex]
<f,g>=\displaystyle\int F(\bar{g}) F(f) dx= > F(f),F(g)>.
[/tex]
1. je n'obtient pas le [tex](2 \pi)^{-n/2}[/tex]. Que faire?
2. Autre question, pourquoi on a besoin qu'un fonction soit dans l'espace [tex]S[/tex] pour écrire sa transformée de Fourier? Je vois dans les livres que même si c'est juste [tex]L^1[/tex] ou [tex]L^2[/tex] on peut écrire sa transformée de Fourier, alors pourquoi avoir besoin de l'espace S?
Merci beaucoup.

Bonjour,

  Il faut appliquer ceci avec [tex]f=g=\varphi[/tex] j'imagine... puis appliquer la formule d'inversion de Fourier.
Le [tex](2\pi)^{-n/2}[/tex] va sortir de cette formule d'inversion. Il dépend de la façon dont tu as défini la transformée de Fourier, et cela peut être différent suivant les sources.

F.