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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Dredriban
- 04-05-2015 16:38:49
J'ai compris ! Merci freddy !
- freddy
- 04-05-2015 08:08:16
Salut,
tu sembles oublier un point essentiel : la contrainte budgétaire de chaque consommateur, droite qui passe par le couple de réels constitués des dotations initiales de chacun, et de pente, le rapport des prix.
Refais ta boite d'Edgeworth, tu devrais t'en apercevoir.
Entraine toi à construire cette boite, c'est la base même de toute l'analyse de l'équilibre d'une économie d'échange.
J'ai trouvé sur la toile de très bons cours en PDF sur ce point.
- Dredriban
- 02-05-2015 18:35:43
Yep merci freddy, j'ai tout compris. Mon seul point d'interrogation c'est la question b et c. Je ne sais toujours pas comment démontrer qu'une ressource est socialement efficace. Juste voir si les 2 TMS s'égalisent avec ces allocations ? Et encore moins savoir comment dire si c'est sur la courbe des contrats (Même si la suite de la résolution me le dit). J'ai beau faire la fonction de la courbe des contrats, si je remplace, ça marche pour chaque allocation.
- freddy
- 02-05-2015 17:51:19
J'ai refait les calculs, et je suis d'accord. Par-contre, j'ai du faire une erreur, je trouve 2 rapports de prix différents selon la contrainte budgétaire que j'utilise. Dans tous les cas, les rapports doivent être égaux ? OUI
De ce fait, si on trouve bien (5 ; 9) et (5 ; 1) cela nous donne la réponse à la question 3. Et, pour la dernière question, j'imagine qu'on doit prendre les quantités données comme quantités optimales. Cela nous donne donc 4 équations avec des rapports de prix différents, non ? Vu qu'il y a une équation par quantité optimale. Et là, je suis censé faire comment ?
Par-contre, et ça me chagrine, bien que la réponse 4 confirme la réponse 3, je ne sais toujours pas comment savoir si elle est sur la courbe des contrats. En effet, TOUTES les allocations vérifient l'équation de la courbe des contrats. De plus, sais-tu quelles conditions nous devons vérifier pour parler d'état socialement efficace ? NON
A l'équilibre, tu ne dois avoir qu'un seul rapport de prix. Si pour une allocation donnée, tu trouves deux solutions possibles, alors ce ne peut être la solution d'équilibre.
La réponse est dans la question : la quantité de bien 2 consommée par 2 est égale à 1, c'est la seule possibilité (cf sa contrainte de budget et fonction de demande). La solution que je t'ai donnée est la solution à l'équilibre des échanges, unique, Pareto-optimale.
Si tu veux modifier cet équilibre, il faut changer les dotations initiales (je pense que c'est ce que recouvre le terme "transfert").
- Dredriban
- 02-05-2015 11:39:42
Quoique, je commence à comprendre la finalité de l'exercice. J'ai refait les calculs, et je suis d'accord. Par-contre, j'ai du faire une erreur, je trouve 2 rapports de prix différents selon quelle contrainte budgétaire j'utilise. Dans tous les cas, les rapports doivent être égaux ?
De ce fait, si on trouve bien (5 ; 9) et (5 ; 1) cela nous donne la réponse à la question 3. Et, pour la dernière question, j'imagine qu'on doit prendre les quantités données comme quantités optimales. Cela nous donne donc 4 équations avec des rapports de prix différents, non ? Vu qu'il y a une équation par quantité optimale. Et là, je suis censé faire comment ?
Par-contre, et ça me chagrine, bien que la réponse 4 confirme la réponse 3, je ne sais toujours pas comment savoir si elle est sur la courbe des contrats. En effet, TOUTES les allocations vérifient l'équation de la courbe des contrats. De plus, sais-tu quelles conditions nous devons vérifier pour parler d'état socialement efficace ? Merci à toi en tout cas, ça m'a permis d'y voir plus clair !
- Dredriban
- 02-05-2015 04:22:45
Super ! Merci ! Il me reste juste à savoir comment vérifier véritablement si c'est socialement efficace ou pas. Quelle est la méthode ? Ensuite, j'imagine que je n'ai qu'à remplacer dans l'équation de la courbe des contrats pour savoir si elle appartient ou pas. Le reste, tu viens de me le donner. Par-contre, j'ai du mal à appréhender la notion de transfert, t'as une idée ?
- freddy
- 01-05-2015 18:08:02
les fonctions de demande sont données ci-dessous :
[tex]x_{11}=\frac{R_1}{4p_1},\,x_{12}=\frac{3R_1}{4p_2},\,x_{21}=\frac{3R_2}{4p_1},\,x_{22}=\frac{R_2}{4p_2},\,R_i=p_1e_{i1}+p_2e_{i2}[/tex]
Re,
la résolution complète du pb est comme suit.
[tex]R_2=4p_2[/tex] donc [tex]x_{22}=\frac{R_2}{4p_2}=1[/tex] et [tex]x_{21}=\frac{3R_2}{4p_1}=3\frac{p_2}{p_1}[/tex].
Ensuite, [tex]R_1=10p_1+6p_2[/tex] donc [tex]x_{11}+x_{21}=\frac{10p_1+6p_2}{4p_1}+3\frac{p_2}{p_1}=10[/tex] d'où l'on tire [tex]\frac{p_2}{p_1}=\frac{5}{3}[/tex].
Par suite, [tex]x_{11}=x_{21}=5[/tex] et [tex]x_{12}=9[/tex]
- Dredriban
- 28-04-2015 16:36:05
Salut ! Par-contre, pour les quantités optimales, nous ne sommes pas obligés de passer par le Lagrangien. On peut également vérifier les 2 contraintes : Celle de budget et TMS = Rapport des prix. T'isoles une inconnue dans l'une des équations (La seconde) et tu la remplaces dans la première pour avoir la valeur de l'autre. Merci de tous tes calculs. Je te mets la définition de mon cours :
Chaque consommateur est défini par une relation de préférence ou une fonction d’utilité. Et par une dotation initiale en biens. Ce sont des quantités ehi des différents biens que possèdent le consommateur h (Quantités positives ou nulles).
On va définir pour une économie quelque soit son organisation précise en terme d’échanges. On va définir l’état réalisable tout simplement comme une distribution des ressources existantes de ces biens entre les consommateurs.
Si chaque consommateur a un plan de consommation xh une allocation des ressources x sera un ensemble de plan de consommation pour tous les consommateur. Un ensemble de n vecteurs. On peut définir une allocation des ressources dans une économie comme un tableau qui a n*l composantes.
Pour le consommateur 1 cela sera un plan de consommation x11 … x1i … x1l. On peut généraliser pour le consommateur n : xn1 … xni … xnl.
C’est une description complète de la consommation de tous les biens par tous les consommateurs. Une telle allocation x définie comme on l’a vu précédemment. C’est un état réalisable de l’économie si en additionnant pour chaque bien les quantités consommées d’un bien par les différents individus, je ne dépasse pas le montant total des ressources existantes. Le montant total des ressources existantes c’est la somme sur h des ehi (Dotation initiale en bien i).
Une allocation des ressources est un état réalisable de l’économie tout simplement si en additionnant sur h les xhi je ne dépasse pas la somme sur h des ehi et cela pour tous les biens i. Cf 1.
Pour définir un état réalisable de l’économie, j’ai besoin d’écrire l inégalités de ce type. Une pour chaque bien.
Pour chaque colonne, je vérifie que cela vérifie bien l’égalité. Je définis une répartition possible de l’ensemble des ressources existantes entre les différents consommateurs.
Du coup, c'est censé vérifier la somme des quantités inférieures à la somme des allocations. Mais c'est le cas pour chacune des allocations et là, ça me chagrine.
Idem pour la courbe des contrats, ça me gêne. Tiens si ça peut aider la définition de la courbe des contrats :
Quand on considère la courbe des contrats d’une économie que l’on définit comme l’ensemble des allocations Pareto-Optimales d’une économie. Cette courbe des contrats qui correspond aux allocations Pareto-Optimale qui sont le résultat d’échanges volontaires ou qui épuisent les possibilités de situation avantageuse pour les 2 consommateurs
Merci à toi ! Pas évident cet exercice je trouve.
- freddy
- 27-04-2015 07:28:19
Salut,
on touche une fois encore la limite de l'exercice. Je n'ai aucune idée car je n'ai pas le cours de ton prof sous les yeux, et certains concepts sont flous pour moi tant que je n'ai pas une définition claire et précise.
Pour la fonction d'utilité, si tu la transformes, tu vas avoir des problèmes avec ton lagrangien ...
J'ai déterminé la fonction de la courbe des contrats : [tex]x_{12}=9x_{11}\times \frac{X_2}{X_1+8x_{11}}[/tex] ainsi que les fonctions de demande :
[tex]x_{11}=\frac{R_1}{4p_1},\,x_{12}=\frac{3R_1}{4p_2},\,x_{21}=\frac{3R_2}{4p_1},\,x_{22}=\frac{R_2}{4p_2},\,R_i=p_1e_{i1}+p_2e_{i2}[/tex]
Bon courage !
- Dredriban
- 25-04-2015 18:21:58
Je ne sais plus quoi suivre sur le coup. Parce que comme tu le dis, on a vu, qu'en gros, dès qu'on avait une fonction d'utilité complexe, il fallait la ramener par transformation croissante à une fonctiond d'utilité qu'on connait (des x puissance quelque chose). Du coup, ici cela donne quoi ? Ce que j'ai écrit avec les puissances de 3 ?
Par-contre, je ne sais pas si t'as des idées pour la suite de l'énoncé, mais ça ne me paraît pas évident du tout.
En tout cas, merci à toi l'ami !
- freddy
- 25-04-2015 18:12:11
Pourtant, on a écrit noir sur blanc ça comme transformation croissante. Que suis-je censé faire du coup ? C'est impossible en conservant les ln de faire quelque chose. x)
C'est une grossièreté. Et je puis t'assurer que ça se résout très bien sans ça !
Par contre, ce qui est exact, est que la notion d'utilité est une notion relative qui accepte qu'on la transforme pas une transformation croissante.
Dans ce cas, il faut écrire [tex]U[/tex] et [tex]U_t=e^U[/tex].
- Dredriban
- 25-04-2015 17:46:34
Pourtant, on a écrit noir sur blanc ça comme transformation croissante. Que suis-je censé faire du coup ? C'est impossible en conservant les ln de faire quelque chose. x)
- freddy
- 25-04-2015 17:11:22
Re,
Houlala ! sur un site de maths, n'écris jamais cette c*** [tex]x^ay^b = a\ln(x)+b\ln(y)[/tex] qui est une monstruosité sans nom :-)
- Dredriban
- 25-04-2015 17:01:13
Re !
Je ne suis pas totalement d'accord avec toi. Dans mon cours, j'ai ça :
U = x1a*x2b = alnx1 + blnx2. D'où ma transformation croissante. Sinon, je ne m'en sors pas avec les ln pour cet exercice.
Concernant la question b, je suis dans le doute. Pour moi un état réalisable c'est la somme sur h des xhi <= somme sur h des ehi. Or, si je respecte cette condition et la vérifie, les 3 allocations marchent. Cela me paraît douteux. Il doit y avoir une seconde condition qui m'échappe.
Du coup, je ne sais pas faire la c. Je pensais à changer les dotations données dans la fonction d'utilité et voir laquelle était la mieux en terme d'efficacité sociale (Respectant le critère de Pareto) mais je doute que cela soit.
- freddy
- 25-04-2015 16:17:50
Re,
quelle définition as tu d'un "état réalisable" ?