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Bonjour,
tu peux raisonner par récurrence sur l'ordre de dérivation à [tex]n[/tex] fixé. En voici une rédaction rapide. [tex]f'[/tex] possède [tex]1[/tex] et [tex]-1[/tex] comme racines de multiplicité [tex]n-1[/tex] chacune. De plus, en utilisant le théorème de Rolle, il possède une racine [tex]x_1^1[/tex] strictement comprise entre [tex]-1[/tex] et [tex]1[/tex]. Donc [tex]f'[/tex] est scindé sur [tex]\mathbb{R}[/tex]. on a bien trouvé les [tex]2n-1[/tex] racines de [tex]f'[/tex] comptées avec multiplicité.
Soit [tex]k\in [[ 0, n-1]][/tex]. On suppose que [tex]f^{(k)}[/tex] est scindé sur [tex]\mathbb{R}[/tex] et admet [tex]1[/tex] et [tex]-1[/tex] comme racine de multiplicité [tex]n-k[/tex] chacune, ainsi que [tex]k[/tex] racines simples [tex]-1<x_1^{k}<\dots <x_{k}^k<1[/tex]. Alors [tex]f^{(k+1)}[/tex] admet [tex]1[/tex] et [tex]-1[/tex] comme racines de multiplicité [tex]n-k-1[/tex] chacune, et d'après le théorème de Rolle, [tex]k+1[/tex] racines simples [tex]-1<x_1^{k+1}<x_1^{k}<\dots <x_k^{k}<x_{k+1}^{k+1}<1[/tex].
Donc le résultat est prouvé par récurrence et est vrai en particulier pour [tex]f^{(n)}[/tex].