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bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a demontrer ce resultat:
soit X et Y deux  espaces vectoriel normé
montrer que si B(X, F)est non reduit a l'application nul et B(X,Y) est de banach alors Y est de banach
AVEC F designe R ou C ET B(X,Y) designe l'ensemble des fonction de X a valeurs dans Y lineaire ,continue et bornée
voici ma reponse pouvez vous me la coriger :
comme B(X, F)est non reduit a l'application nul ,alos il esciste L:X→F  telque L(x)#0 pour tout x#0
soit (yn) une suite de cauchy dans Y montrons qu'elle converge
on a ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||y_n-y_m||≤ε_/||L||
soit (A_n) une suite de B(X,Y) telque
A_n(x)=l(x)y_n pour tout x∈X
on a ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||A_n(x)-A_m(x)||≤||L||.||y_n-y_m||≤ε pour tout x∈X telque ||x||≤1
par suite ∀ε>0 ∃N>0 telque ∀n>m>N ||A_n-A_m||≤ε
ce qui signifie que (A_n) est une suite de cauchy dans B(X,Y) qui est de banach
donc A_n→A ∈ B(X,Y)
par suite A_n(x)→ A(x) ∈Y pour tout x∈ X
ce qui donne l(x)y_n → A(x) pour tout x ∈ X par suite y_n → A(x)/l(x)∈Y pour tout x∈ X
on conclut alors que Y est de banach.
merci en avance