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donc on ecrit
\displaystyle \|A-A_n\|≥∥An(en+1)−A(en+1)∥/∥(en+1)∥=∥A(en+1)∥=1
par suite lim n→∞  \displaystyle \|A-A_n\|≥1
alors A_n ne tend pas vers A dans B(x)
merci

bonjour Fred
on a \displaystyle \|A-A_n\|≥∥An(e_n+1)−A(e_n+1)∥_{/∥(en+1)∥}=∥A(e_n+1)∥=1
mais je ne sais pas comment prouver l'autre inegalité pour obtenir \displaystyle \|A-A_n\|=1
pouvez vous s'il vous plait m'aider.merci en avance

bonjour  Fred vous ete tout a fait raison .notre  prof nous a dernierement corriger l'enoncer et voila celui corrigé:
Soit X un espace vectoriel  normé. Soit A ∈ B (X) et laisser {A_n} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist
C est une constante avec ||A|| ≤ C et ||A_n|| ≤ C pour tout n.
Supposons que A_nx → Ax pour tout x ∈ X.
Donner un exemple pour montrer qu'  il ne doit pas être le cas que ||A_n - A||→ 0.

on considere Soit X un espace de Hilbert  de base                 \displaystyle (e_n) et  muni de la norme infinie ||x||_∞ =\sum_{k=1}^∞ \langle x,e_k\rangle e_k
on considere
\displaystyle A=Id     
\displaystyle A_n=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle e_k
on a A=Id est lineaire et vérifie ||A(x)||=||x||∞ ≤1 pour tout x appartenant a la boule unité par suite A ∈ B (X) et ||A||≤1
de meme on montre la linéarité de A_n grace a la linearité du produit scalaire par rapport a la premiere variable et on a
||A_n(x)||≤||x||∞≤1 pour tout x appartenant a la boule unité par suite A_n ∈ B (X) et ||A_n||≤1
on a ||A_n(x) - A(x) ||=||\displaystyle A_n=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle e_k || -||\sum_{k=1}^∞ \langle x,e_k\rangle e_k ||=
|| \sum_{k=n+1}^∞ \langle x,e_k\rangle e_k ||
mais je ne sais pas comment continuer pouvez vous m'aider s'il vous plait.merci

bonjour Fred POUVEZ VOUS S'il vous plait me corriger mes fautes.merci en avance

bonjour  Fred voici ma reponse pouvez vous s'il vous plait me la corriger:
Soit X un espace vectoriel  normé. Soit A ∈ B (X) et laisser {A_n} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist
C est une constante avec ||A|| ≤ C et ||A_n|| ≤ C pour tout n.
1)    supposons  que A_n → A dans B (X) et montrons qu' exist un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y
on a   ||A_n - A||=sup _x∈X\{0}||A_n(x) - A(x)||_/||x||
on a donc pour tout x∈X ||A_n(x) - A(x)||≤||A_n - A||→0 quand n tend vers ∞ cr par hypothese  A_n → A dans B (X)
ce qui implique que pour tout x∈X A_n(x) → A(x)
par suite il exist Y=X dense dans X  telque  A_n(x) → A(x) pour tout x ∈ Y
2)supposons
qu' il exist  un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y et montons que A_n → A dans B (X)
soit x∈ X
[*][/*]comme Y est dense dans X ,il existe une suite (y_n)∈Y telque y_n→x
donc ∀ x∈ X ,∀ε>0 ,∃N₁>0 telque ∀n≥N₁ ||x-y_n||≤ε_/3c
[*][/*]de plus par hypothese on a  ∀y ∈ Y ,∀ε>0 ,∃N₂>0 telque ∀n≥N₂ ||A_n(y) - A(y)||≤ε_/3
parsuite on a ∀ x∈ X   ∃N=max(N₁,N₂)>0 telque ∀n≥N:
||\displaystyle A_n x-Ax||=||(A_n x-A_n yn)+(A_n yn-Ayn)+(Ayn-A x)||≤||A_n(x) - A_n(y_n)||+||A_n(y_n) - A(y_n)||+||A(y_n) - A(x)||≤||A_n||.||x-y_n||+||A_n(y_n) - A(y_n)||+||A||.||x-y_n||≤c.ε_/3c+ε_/3+c.ε_/3c=ε
parsuite on a  pour tout ∀ x∈ X
\displaystyle \forall \epsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N,\ n\geq N\implies \|A_n x-Ax\|\leq \epsilon.
ce qui donne  A_n → A dans B (X) .
merci

bonjour Fred
pouvez vous s'il vous plait me dire comment corriger ma reponse.merci

X un espace  VECTORIEL normé
B (X) est l'ensemble des application  linéaire bornée de X a valeur dans X
voici ma reponse
supposons
qu' il exist  un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y et montons que A_n → A dans B (X)
soit x∈ X ,comme Y est dense dans X ,il existe une suite (y_n)∈Y telque y_n→x
or en utilisant l'inegalité triangulaire on a :
∥A_nx−Ax∥≤∥A_nx−A_ny_n∥+∥A_ny_n−Ay_n∥≤C∥x−y_n∥+∥A_ny_n−Ay_n∥→0
parsuite Anx→Ax pour tout x dans X
ce qui implique que A_n → A dans B (X)
ma reponse est elle juste ? pouvez vous s'il vous plait m'aider a montrer l'autre implication.merci

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a montrer l'equivalence suivante:
Soit X un espace linéaire normé. Soit A ∈ B (X) et laisser {A_n} ⊂ B (X) de telle sorte qu'il exist
C est une constante avec //A// ≤ C et //A_n// ≤ C pour tout n. Montrer que A_n → A dans B (X) si et
que se il ya un sous-ensemble dense Y ⊂ X tel que A_nx → Ax pour tout x ∈ Y.merci en avance.