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bonjour Fred .merci pour votre aide .pouvez vous me dire si je peut rédiger la réponse comme suit :
Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base ( ie un ensemble orthonormé maximale) pour H
E a un nombre fini d'éléments si et seulement si H est un espace vectoriel normé est de dimension finie
et
0 a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie  0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K ⊂ H.)si et seulement si  il existe un compact K c H et   il existe r≻0 telque B(0,r)c K  si et seulement si  il existe un compact K c H et   il existe r≻0 telque B'(0,r)c K si et seulement si il existe  r≻0 telque B'(0,r) est un compact si et seulement si  la  boule unité fermée de H est compacte.
doc pour montrer que
E a un nombre fini d'éléments si et seulement si 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie  0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K ⊂ H.)
il suffit de prouver l'equivalence suivante
H est un espace vectoriel normé est de dimension finie
si et seulement si sa boule unité fermée est compacte.
merci

bonjour pouvez vous s'il vous plait m'aider a demontre ce resultat
Soit H un espace de Hilbert. Soit E une base ( ie un ensemble orthonormé maximale) pour H.
Vérifier que E a un nombre fini d'éléments si et seulement si 0 (le vecteur zéro dans H) a un
voisinage compact. (Dire que 0 a un voisinage compact signifie  0 est un point intérieur
d'un ensemble compact K ⊂ H.)
merci en avance