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bonjour

j'ai une question que je trouve difficile a resoudre .pouvez vous m'aider s'il vous plait  ?

Considérons une équation de la chaleur homogène sur une vraie ligne:
u_t - u_xx = 0 x ∈ R, t> 0, (P DE)
u (x, 0) = g (x), x ∈R.
Rappelons que la solution de ce problème est ainsi libellé:
u (x, t) = ∫^∞_-∞Φ (x - y, t) g (y) dy  (S)
où
Φ (x, t) = (1 / _{(√ (4πt)}) exp (-x2 / 4t)
est un noyau de la chaleur.
Supposons que g est fonction non-négative uniformément bornée continue ayant une propriété g> 0 sur (a, b)
et g = 0 sinon. ici -∞ <a<b <∞.
Montrer que pour chaque t> 0 que
u (x, t) ≤C min { 1, 1 / √t}, pour certains 0 <C <∞

voici ma réponse,  quelqu'un peut-il s'il vous plait me la corriger :
d'une part
on a Par définition de g ∫^∞_-∞Φ (x - y, t) g (y) dy=∫_a^bΦ (x - y, t) g (y) dy
comme g uniformément bornée et >0  on a u (x, t) ≤M∫_a^bΦ (x - y, t) dy≤M(b-a)/√(4πt) car L'exponentielle étant plus petite que 1
d'autre part
on peut utiliser l'inégalité de Young pour la convolution :
Elle est valable pour 1/p+1/q=1+1/r on pose alors r=q=∞ et p=1
on obtient //u(.,t)//_∞=//Φ(.,t)*g(.)//_∞≤//Φ(.,t)//₁//g//_∞
or //Φ(.,t)//₁=1
On a donc bien //u(.,t)//_∞ ≤//g//_∞≤M
conclusion pour tout t >0 si  on pose c=max(M,M(b-a)/√(4π)) on aura u (x, t) ≤C min { 1, 1 / √t}

merci