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ReBonjour,

Avec plaisir, car si je me souviens (depuis bien des années) de cette intégrale définie, c'est qu'elle fut un de mes premiers émerveillement concernant les intégrales doubles.
Dans ces années on apprenait simplement : Si [tex]f(x,y)=g(x)\times h(y)[/tex] alors [tex]\int \int f(x,y) dx dy=\int g(x) dx \times \int h(y) dy [/tex]

Donc aucune difficulté pour comprendre que [tex]I^2=\big( \int_0^{\infty} e^{-x^2} dx \big)^2=\int_0^{\infty} e^{-x^2} dx \times \int_0^{\infty} e^{-y^2} dy=\int_{x=0}^{\infty}\int_{y=0}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)} dxdy[/tex]

Ensuite en coordonnées polaires : [tex]x^2+y^2=R^2[/tex] et l'élément [tex]dxdy[/tex] est remplacé par [tex]RdRd\theta[/tex], donc dans le premier quart du plan :
[tex]I^2=\int_{R=0}^{\infty}\int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}} e^{-R^2} R dR d\theta=\int_{R=0}^{\infty} e^{-R^2} R dR \times \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta=\frac{1}{2}\int_{R=0}^{\infty} e^{-R^2} 2R dR \times \int_{\theta=0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta[/tex]

[tex]I^2=\frac{1}{2} {[-e^{-R^2}]}_0^{\infty} \times [\theta]_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{2}[/tex]

Salut,

  La fonction [tex]x\mapsto e^{-x^2}[/tex] n'admet pas de primitives qui s'obtient avec des fonctions connues (exponentielle, puissance, logarithmes,...). Par conséquent, tu ne peux pas calculer l'intégrale demandée avec un calcul de primitive. Il existe néanmoins plusieurs méthodes pour calculer cette intégrale. Totomm t'as donné la plus facile si on connait les intégrales multiples. Il en existe d'autres mais aucune n'est vraiment triviale. Par exemple, sur cette feuille d'exercices du site, tu en trouveras une autre à base de fonctions définies par une intégrale.

F.

Bonjour,

Dans mes souvenirs, on écrit [tex]I^2=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty} {e^{-(x^2+y^2)} dxdy}[/tex] et on passe en coordonnées polaires

genre [tex]x^2+y^2=R^2[/tex] et [tex]dxdy=RdRd\theta[/tex]... d'où [tex]I^2=\frac{\pi}{4}[/tex]

Bonjour, je rencontre des difficultés à calculer l'intégrale suivante :

A=\int_0^{+\infty}\,\e^-t²\,dt.

J'ai d'abord montré que cette intervalle convergeait mais ce n'est pas la question...faut il faire une intégration par partie?

merci de m'aider  !