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Bonjour,
J'ai le problème suivant: Soit [tex]F(x,y)= 1_U (x,y)[/tex], où[tex] U=\{(x,y) \in \R^2: y > |x|\}[/tex]. La question est de calculer[tex] \dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 F}{\partial y^2}[/tex].
Soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\R)[/tex]. On a [tex]\langle T,\varphi \rangle = \Big\langle \dfrac{\partial^2 F}{\partial x^2} - \dfrac{\partial F^2}{\partial y^2} , \varphi \Big\rangle
= \Big\langle F , \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} \Big\rangle
=\int_U \left( \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} - \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} \right)dx dy[/tex]
On a [tex]$$I_1 = \int_U \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} dx dy = \int_0^{+\infty} \bigg[\int_{-y}^y \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} dx \bigg] dy = \int_0^{+\infty} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (y,y) dy - \int_0^{+\infty} \dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (-y,y) dy.
[/tex] et on a[tex]
I_2= \int_U \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} dx dy
= \int_{-\infty}^0\bigg[\int_{-x}^{+\infty} \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} (x,y) dy\bigg] dx
+ \int_0^{+\infty} \int_x^{+\infty} \dfrac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} dy dx
= - \int_{-\infty}^0 \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (x,-x) dx - \int_0^{+\infty} \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (x,x) dx
[/tex] On fait le changement de variable :
si [tex]x \in ]- \infty,0[[/tex], on pose [tex]x = -t[/tex], et si [tex]x \in ]0,+\infty[[/tex], on pose[tex] x=t[/tex], et on pose aussi [tex]y=t.[/tex] Donc, on obtient :
[tex]I_1= \displaystyle\int_0^{+\infty} \Big[\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (t,t) - \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (-t,t)\Big] dt[/tex],
et [tex]I_2=\displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}(-t,t) dt - \int_0^{+\infty} \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}(t,t) dt[/tex].
Donc, [tex] I_1 + I_2 = \int_0^{+\infty} \Big[\dfrac{\partial \varphi}{\partial x} (t,t) - \dfrac{\partial \varphi}{\partial y}(t,t)\Big] dt + \int_0^{+\infty}\Big[ \dfrac{\partial \varphi}{\partial y} (-t,t) - \dfrac{\partial \varphi}{\partial x}(-t,t)\Big] dt
[/tex] Jusque là, il y a le moins du deuxième terme du premier membre qui gêne vraiment beaucoup. Est-ce une erreur ? Je refais les calculs mais je trouve la même chose. Merci beaucoup.