Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut Yoshi,

ma réponse #11 n'était pas claire ?
il ne s'agit pas d'une vraie démonstration mais l'idée est bien celle là non ? Ce que reprend tibo à la suite de ton post, d'ailleurs.

Bonjour,

Oui, merci.
Wolfram c'était la solution de facilité.
J'étais déjà parti de :[tex] (\sin(8\theta)-\sin(\theta))^2+(\cos(\theta)-\cos(8\theta))^2[/tex] en appliquant les formules de transformation de [tex]\cos a -\cos b[/tex] et [tex]\sin a - \sin b[/tex] mais le résultat n'était pas satisfaisant pour une intégration : j'avais donc fait marche arrière et je n'ai pas (immédiatement) vu  le développement des carrés qui me laissait avec les doubles produits, méthode bien plus confortable...
Alors j'ai usé (et donc abusé de Wolfram... :-(
Ce n'est pas la solution de Wolfram (j'ai bien obtenu la forme en cos seul après modifs) qui est farfelue mais le résultat de l'intégration : il est trop éloigné de ce que j'espérais...
Le site d'où sort le calcul de la longueur avait bien précisé que c'était une formule donnant une valeur approchée, mais je pensais m'approcher... plus près !
Je vais donc soit trouver une autre formule, soit en inventer une...

@+

Bonjour,

J'ai voulu tenter un calcul approché de la longueur d'une spire correspondant à un angle de [tex]\frac{2\pi}{7}[/tex]

L'équation en coordonnées de polaire de mon épicycloïde est :
[tex]x(\theta)= 8r\cos(\theta)-r\cos(8\theta)[/tex]
[tex]y(\theta)= 8r\sin(\theta)-r\sin(8\theta)[/tex]

[tex]x'(\theta) =-8r\sin(\theta)+8r\sin(8\theta) = 8r(\sin(8\theta)-sin(\theta))[/tex]
[tex]y'(\theta)=8r\cos(\theta)-8r\cos(8\theta) = 8r(\cos(\theta)-\cos(8\theta))[/tex]

---------------------------------------------------------

[tex]x'(\theta)^2+y'(\theta)^2 = 64r^2\left[(\sin(8\theta)-sin(\theta))^2+(\cos(\theta)-\cos(8\theta))^2\right][/tex]

[tex]\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2} = 8r\sqrt{(\sin(8\theta)-sin(\theta))^2+(\cos(\theta)-\cos(8\theta))^2}[/tex]

Je tente un calcul approché de la longueur !
[tex]L=\int_0^{\frac{2\pi}{7}}\sqrt{x'(\theta)^2+y'(\theta)^2}d\theta[/tex]  (la formule n'est pas de moi)

[tex]L=8r\int_0^{\frac{2\pi}{7}}\sqrt{(\sin(8\theta)-sin(\theta))^2+(\cos(\theta)-\cos(8\theta))^2}d\theta[/tex]

Soit avec Wolfram Mathematica :
[tex]L=8r\left[-\frac 4 7 \sqrt{\sin^2\left(\frac{7\theta}{2}\right)}\times\frac{1}{\tan\left(\frac{7\theta}{2}\right)}\right]_0^{\frac{2\pi}{7}} [/tex]

Et il y a problème : si [tex]\theta = 0[/tex] la tangente est nulle et il y a division par zéro, au mieux indétermination à lever...

Je crois l'avoir levée, mais mon résultat est farfelu...

Donc, il va falloir que je reprenne tout sauf si un oeil de lynx de passage me disait où j'ai fait erreur...

@+

RE,

J'appelle V1 le 2nd point V (dans le sens trigo), et I1 le point I correspondant.
[tex]\widehat{VOV1}=\frac{2\pi}{7}[/tex]
La longueur de l'arc de cercle rouge VV1 (avec R=7r) est donc[tex] L_V=7r\times\frac{2\pi}{7}=2\pi r[/tex]
La distance parcourue par le point I est celle de l'arc l'arc II1 : [tex]L_I=8r\times\frac{2\pi}{7}=\frac{16\pi r}{7}[/tex]
[tex]L_I-L_V = 8r\times\frac{2\pi}{7}-7r\times\frac{2\pi}{7}=\frac{2\pi}{7}\times r[/tex]
Dans le cas d'une cycloïde où le cercle sur une droite, le problème ne se pose pas...

C'est ça ?

@+

Bonjour,

D'accord l'accent sur le u n'est pas le bon : j'avais oublié !
Bon je reviens sur l'énigme...
En rouge, le pied du verre ; en vert la pièce de monnaie...
O est le centre du cercle qui représente le pied du verre, I le centre du cercle qui représente la pièce de monnaie, V le point de la pièce de monnaie qui est le point de tangence entre les 2 cercles (V parce que j'ai pensé valve de roue de bicyclette :-D).
A partir de cette position, je fais rouler - sans glisser - le cercle vert sur le cercle rouge, jusqu'à ce que le point V revienne à sa position de départ.
La courbe bleue (qui s'appelle épicycloïde) est la courbe décrite par le point V.
Après le point V, le 1er point de contact est atteint lorsque le cercle vert a tourné de 360°, c'est à dire a fait un tour complet...
Ce qui me trouble est que je compte 7 tours !
Dessin fait avec le module turtle du langage Python :

Donc je ne comprends toujours pas la réponse 7+1...

@+

Salut Al Berto,

Il aurait fallu pour cela que tu sois fan des citations bizarres françaises...
Au plus haut trône : aujourd'hui, on dirait "Sur le"...

Hors-Sujet
<< Lasciate ogni speranza voi ch'entrate... >>
et
<< Poscia, più che'l dolor potè il digiuno.. >>
Pour la 2nde c'est l'orthographe d'origine, 50 ans après, je m'en souviens encore...
Aujourd'hui certains écrivent - dans la citation - poté et non potè : pour moi, à l'oreille, ce n'est pas correct...

Les connais-tu (sans utiliser Google !) ?

@+

RE,

Oui, je le savais, c'est bien pourquoi j'ai choisi cela : voir mon post#8 de 2007 http://www.bibmath.net/forums/viewtopic … 4892#p4892

Michel Eyquem Seigneur de Montaigne, auteur des Essais, y a écrit (XVIe siècle, je crois) :
<< Au plus haut trône du monde, on n'est jamais assis que sur son cul. >>
Le mot "cul", à cette époque-là était loin d'être aussi grossier qu'aujourd'hui.
C'est un peu dans la même veine...

@+

Salut freddy,

Content de voir que tu n'es pas coupé du monde !

Oui, en italien, un aphorisme dit "traduttore, traditore" = traducteur, traître...
Non, la traduction de l'italien au français est conforme à l'original...

Qu'est-ce qui te fait penser que cette énigme est d'origine anglaise ?

@+