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Bonjour,
[tex]\Omega[/tex] est la réunion de [tex]\Omega_1[/tex] et [tex]\Omega_2[/tex] plus une interface entre les deux sous-domaine, et la frontière
soit [tex]U[/tex] est une équation définie de [tex]L^2(\Omega)[/tex] dans[tex] L^2(\Omega)[/tex], par:
[tex]U(u)
=
\begin{cases}
u \quad \mbox{dans } \Omega_1\\
C^{-1}(u) \quad \mbox{dans } \Omega_2
\end{cases}[/tex]
continue dans[tex] L^2(\Omega)[/tex], avec C une fonction régulière positive et croissante, telle que [tex]C(0)=0[/tex], et [tex]C(1)=0[/tex].

On considère l'application [tex]F:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n[/tex] définie par
[tex]\{\eta_j\}_{1 \leq j \leq n} \to u= \sum \eta_j \psi_j \to \{(U(u),\psi_k\)_{L^2(\Omega)}\}_{1 \leq k \leq n}[/tex]

Ma question est: comment expliquer ceci:
par la positivité de C, on a:
[tex](F(\eta')-F(\eta'')).(\eta-\eta'') = (U(u')-U(u''),u'-u'') \geq \alpha ||u'-u''||^2_{L^2(\Omega)} \geq C |\eta - \eta''|^2[/tex]
où \alpha est une constante, et la dernière inégalité est dûe au fait que C est une fonction positive et décroissante.

Je ne comprend pas la dérinère ligne avec une égalité et deux inégalités, ni les arguments utilisés pour les démontrer. Merci de m'aider.