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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 13-12-2014 18:31:49
Oui, c'est celle-là. Et en 0, elle prend la valeur que tu veux, cela n'a pas d'importance.
- htina
- 13-12-2014 17:42:55
[tex]
u(x)
=
\begin{cases}
-1 & \mbox{sur } ]-\infty,0[\\
1 & \mbox{sur } ]0,+\infty[
\end{cases}
[/tex]
c'est celle là? et en 0, on ne sait rien.
- Fred
- 13-12-2014 16:54:13
Ok, alors soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]\langle T'_1,\varphi \rangle = - \langle T_1, \varphi'(x) \rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi'(x) dx - \displaystyle \int_0^{+\infty} c \varphi'(x) dx.[/tex]
En utilisant l'intégration par parties, on obtient que:
[tex]\langle T'_1,\varphi\rangle = - \displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi (x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi(x) dx[/tex]on peut dire que c'est égale à[tex] -2 \displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi(x) dx[/tex]
Non!!!!! Tu ne sais rien sur la parité de [tex]\varphi[/tex]!!!
c'est qui [tex]T'_1[/tex] dans ce cas?
Pour quelle fonction [tex]u[/tex] a-t-on que la dérivée associée à [tex]u[/tex], que je note [tex]T_u[/tex], vérifie
[tex]\langle T_u,\varphi\rangle=-\int_{-\infty}^0 \varphi(x)dx+\int_0^{+\infty}\varphi(x)dx???[/tex]
- htina
- 13-12-2014 13:39:02
Ok, alors soit [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]\langle T'_1,\varphi \rangle = - \langle T_1, \varphi'(x) \rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi'(x) dx - \displaystyle \int_0^{+\infty} c \varphi'(x) dx.[/tex]
En utilisant l'intégration par parties, on obtient que:
[tex]\langle T'_1,\varphi\rangle = - \displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi (x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} \varphi(x) dx[/tex]
on peut dire que c'est égale à[tex] -2 \displaystyle\int_{-\infty}^0 \varphi(x) dx[/tex]
c'est qui [tex]T'_1[/tex] dans ce cas?
- Fred
- 12-12-2014 20:39:10
Oui, c'est cela, mais ce n'est pas ce que tu as fait au post 9.
Et tu le calcules comme je te l'ai dit en coupant l'intégrale en deux et en faisant une intégration par parties.
- htina
- 12-12-2014 20:22:21
Je ne comprend pas. En fait, ce qu'on doit calculer, c'est [tex]- \displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \varphi'(x) dx[/tex]. C'est ca?
- Fred
- 12-12-2014 18:57:41
Tu as oublié de dériver [tex]\varphi[/tex] dès le départ! Et tu dois faire l'intégration par parties dans l'autre sens, en intégrant [tex]\varphi'[/tex].
- htina
- 12-12-2014 18:53:40
[tex]
I= \displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \varphi(x) dx = - \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx.
[/tex]
En utilisant l'intégration par parties, on obtient:
[tex]
I= -[\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_{-\infty}^0 + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{-\infty}^0 x^2 \varphi'(x) dx +
[\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_0^{+\infty} - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi'(x) dx.
[/tex]
Ainsi, puisque [tex] -[\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_{-\infty}^0=0 [/tex], et [tex] [\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_0^{+\infty}=0, [/tex] on a:
[tex]
I= I= + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{-\infty}^0 x^2 \varphi'(x) dx
- \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi'(x) dx
[/tex]
- Fred
- 12-12-2014 18:23:01
[tex]
\displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \varphi(x) dx = - \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx = 2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx.
[/tex]
Je ne suis pas d'accord avec cette dernière égalité, on ne sait rien de la parité de [tex]\varphi[/tex].
Contente-toi de ce que tu as fait au post 5 avec I2, fais la même chose avec I1, et ajoute les deux!
- htina
- 12-12-2014 17:31:31
[tex]
\displaystyle\int_{\mathbb{R}} |x| \varphi(x) dx = - \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx = 2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx.
[/tex]
Par intégration par parties, on a:
[tex]
\displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx = [\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_0^{+\infty} + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi'(x) dx.
[/tex]
Le calcul de [tex]\displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi'(x) dx[/tex], par intégration par parties, nous donne:
[tex]
\displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi'(x) dx = [x^2 \varphi(x)]_0^{+\infty} - 2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx.
[/tex]
Ainsi,
[tex]
2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx = 2([\dfrac{x^2}{2} \varphi(x)]_0^{+\infty} + \dfrac{1}{2} [x^2 \varphi(x)]_0^{+\infty} - \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx) = -2 \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx
[/tex]
là je ne comprend plus, ca donne 0.
- Fred
- 12-12-2014 11:32:58
et si on applique encore une fois, l'intégration par parties, on trouve 0.
Je ne suis pas d'accord.
Que faire?
Merci beaucoup.
Tu fais aussi l'intégration par parties sur [tex]I_1[/tex], tu fais la somme des deux, et tu verras que ta distribution est un certain [tex]T_f[/tex].
- htina
- 12-12-2014 11:14:01
Pour le calcul de la dérivée de [tex]T_1=|x|.[/tex]
Tout d'abord, [tex]|x| \in L^1_{loc}(\mathbb{R})[/tex], car c'est une fonction continue sur [tex]\mathbb{R}.[/tex] Ainsi, pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], [tex]\langle T_1,\varphi \rangle = \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} |x| \varphi(x) dx=- \displaystyle\int_{-\infty}^0 x \varphi(x) dx + \displaystyle\int_{0}^{+\infty} x \varphi(x) dx. [/tex]
En utilisant l'intégration par parties sur [tex]I_2 = \displaystyle\int_0^{+\infty} x \varphi(x) dx[/tex], on obtient que
[tex]I_2= - \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_0^{+\infty} x^2 \varphi(x) dx[/tex]
et si on applique encore une fois, l'intégration par parties, on trouve 0. Que faire?
Merci beaucoup.
- Fred
- 12-12-2014 07:50:45
Elle est [tex]L^1_{loc}[/tex] car elle est bornée. On calcule sa dérivée exactement de la même façon que pour la valeur absolue.
F.
- htina
- 12-12-2014 00:40:28
et pour la distribution [tex]T_2=sgn(x)[/tex], comment on montre qu'elle est [tex]L^1_loc[/tex], et comment calculer sa dérivée?
Merci beaucoup.
- Fred
- 11-12-2014 21:18:19
D'abord, appliquer la formule.
[tex]\langle T_1',\varphi\rangle=-\langle T_1,\varphi'\rangle=-\int_{\mathbb R}|x|\varphi'(x)dx[/tex].
Ensuite, je coupe l'intégrale en deux : sur [tex] ]-\infty,0] [/tex] et sur [tex] [0,+\infty[ [/tex]. Sur chaque intervalle, je fais une intégration par parties.
F.