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Salut,

  Pas facile la deuxième question. Voici comment je m'y prendrais, en utilisant au maximum l'inégalité des accroissements finis.
D'abord, j'écris
[tex]\cos\left(\frac x{\sqrt n}\right)^n-e^{-x^2/2}=\exp\left(n\ln(\cos(x/\sqrt n))\right)-\exp(-x^2/2)[/tex]
Or, si [tex]u,v\leq 0[/tex], on a [tex]|\exp(u)-\exp(v)|\leq e |u-v|[/tex] (par l'inégalité des accroissements finis).
On a donc
[tex]\left| \cos\left(\frac x{\sqrt n}\right)^n-e^{-x^2/2}\right|\leq e \left | n\ln(\cos(x/\sqrt n))+x^2/2\right| [/tex].
Ensuite, j'écris que [tex]x^2/2=nx^2/2n=-n\ln(\exp(-x^2/2n))[/tex].
Si [tex]n[/tex] est assez grand, alors pour tout [tex]x\in [-a,a][/tex], [tex]\cos(x/\sqrt n), \exp(-x^2/2n)[/tex] sont tous les deux dans l'intervalle [1/2,3/2]. On applique encore l'inégalité des accroissements finis à la fonction logarithme, et il vient :
[tex] \left | n\ln(\cos(x/\sqrt n))+x^2/2\right|\leq 2n\left|\cos(x/\sqrt n)-\exp(-x^2/2n)\right|[/tex].

Or, au voisinage de 0, [tex]\cos(t)-\exp(-t^2/2)=o(t^2)[/tex].
En particulier, il existe [tex]\delta>0[/tex] tel que, si [tex] |t|<\delta[/tex], alors [tex]|\cos(t)-\exp(-t^2/2)|\leq \varepsilon t^2[/tex].
Ainsi, si [tex]n[/tex] est suffisamment grand pour que [tex]\frac a{\sqrt n}<\delta[/tex], on a en posant [tex]t=x/\sqrt n[/tex],
[tex] \left|\cos(x/\sqrt n)-\exp(-x^2/2n)\right|\leq \frac{\varepsilon a^2}n[/tex].
Si on revient à la fonction initiale, on a finalement trouvé que pour tout n assez grand, pour tout x dans [-a,a], alors
[tex]\left| \cos\left(\frac x{\sqrt n}\right)^n-e^{-x^2/2}\right|\leq 2ea^2 \varepsilon[/tex],
ce qui prouve bien la convergence uniforme (si je ne me suis pas trompé!).

F.

Bonjour,
Pour le premier exercice, après les changements de variable [tex]u=e^{-t}[/tex] puis [tex]v = 1-u[/tex] j'obtiens [tex]I_n=\int_0^1 \frac{1-v^n}{1-v} dv[/tex]. On reconnaît alors que l'intégrande est une somme géométrique et on en déduit le résultat souhaité.