Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ce serait avec plaisir, mais c'est un peu trop loin de mes compétences habituelles et je n'ai pas le temps d'y réfléchir pour le moment...

Bonjour à tous,

Rappel :

Soit : [tex] f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{P}_n ( \mathbb{R} ) = \mathbb{P} ( \mathbb{R}^{n+1} ) [/tex] l'application définie par : [tex]f(x_1 , x_2 , \dots , x_n ) = ( x_1 \ : \ x_2 \ : \ \dots \ : \ x_n \ : \ 1 )[/tex]
qui induit une bijection entre [tex]\mathbb{R}^n[/tex] et le complémentaire dans [tex]\mathbb{P}_n ( \mathbb{R} )[/tex] de l'hyperplan projectif d'équation : [tex]x_{n+1} = 0[/tex].

Géométriquement, l'image par [tex]f [/tex] d'un point [tex]M \in \mathbb{R}^n[/tex] est la droite vectorielle de [tex]\mathbb{R}^{n+1}[/tex] contenant le point [tex](M,1) \in \mathbb{R}^n \times \{ 1 \}[/tex]. 

Soit [tex]A[/tex] un sous espace affine de [tex]\mathbb{R}^n[/tex], Soit [tex]C(A)[/tex] le sous espace vectoriel de [tex]\mathbb{R}^{n+1}[/tex] engendré par [tex]A \times \{ 1 \}[/tex].

Le complété projectif de [tex]A[/tex] est la variété linéaire projective [tex]\hat{A} = \mathbb{P}_n ( C(A)) = \pi ( C(A))[/tex] avec : [tex]\pi : \mathbb{R}^n \backslash \{ 0 \} \to \mathbb{P}_n ( \mathbb{R} )[/tex] la surjection canonique associée à l'espace projectif [tex]\mathbb{P}_n ( \mathbb{R} )[/tex].

Ma question est la suivante :

Si, en particulier [tex]A \subset \mathbb{R}^n[/tex] est l'hyperplan affine d'équation : [tex]a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n + a_{n+1} = 0 [/tex],  pourquoi son complété projectif [tex]\hat{A}[/tex] est l'hyperplan d'équation : [tex]a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n + a_{n+1} x_{n+1} = 0 [/tex] ?

Merci d'avance.