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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 07-12-2014 23:19:05
Tu as raison, c'est une erreur de ma part, mais pour la norme usuelle des applications linéaires (mais qu'on n'apprend plus en classe prépa depuis cette année), la norme vaut 1.
- Legendre
- 07-12-2014 11:49:32
[tex]||I||[/tex] dépend de la norme utilisée, je suppose qu'il a utilisé la norme infinie?
- Roro
- 07-12-2014 11:20:12
Bonjour,
Tu as raison, mais combien vaut [tex]\|\mathrm{Id}\|[/tex] ?
Oui, tu peux mettre [tex]\frac{1}{n}[/tex] à la place de [tex]\frac{1}{2^n}[/tex]...
Roro.
- Legendre
- 07-12-2014 11:05:29
Je ne comprends pas le [tex]\lambda I[/tex], j'aurais plutôt mis [tex]\frac{\lambda}{||I||}I[/tex], je me trompe?
Pour la suite qui montre que [tex]\overline{S_{n}^{++}}=S_{n}^+[/tex], peut-on mettre [tex]\frac{1}{n}[/tex] à la place de [tex]\frac{1}{2^n}[/tex] ?
- Fred
- 07-12-2014 00:30:42
Je vois, je n'avais pas vu les choses de cette façon !
Pourquoi as-tu le droit de considérer [tex]\lambda I + N[/tex] dans l'ensemble des matrices nilpotentes?
Parce que N est dans l'intérieur....
- Legendre
- 06-12-2014 19:05:46
Je vois, je n'avais pas vu les choses de cette façon !
Pourquoi as-tu le droit de considérer [tex]\lambda I + N[/tex] dans l'ensemble des matrices nilpotentes?
Merci
- Fred
- 06-12-2014 18:57:02
Pour moi, une matrice M est dans [tex]S_n^+[/tex] si elle est symétrique et si [tex]\langle MX,X\rangle\geq 0[/tex] pour tout vecteur X.
Si tu prends une suite [tex](M_n)\subset S_n^+[/tex] de limite [tex]M[/tex], alors [tex]M[/tex] est symétrique (par passage à la limite sur chaque coefficient des matrices), et pour tout vecteur X, on a bien [tex]\langle MX,X\rangle \geq 0[/tex] (là encore, par passage à la limite).
Si [tex]N[/tex] était dans l'intérieur des matrices nilpotents, alors il existerait [tex]\eta>0[/tex] tel que [tex]B(N,\eta)[/tex] soit contenue dans l'ensemble des matrices nilpotentes. En particulier, pour [tex]\lambda=\eta/2[/tex], on aurait [tex]\lambda I_n+N[/tex] qui serait nilpotent, ce qui n'est pas vrai (car les valeurs propres de [tex]\lambda I_n+N[/tex] sont toutes égales à [tex]\lambda[/tex] et donc sont non nulles).
F.
- Legendre
- 06-12-2014 18:11:15
Je n'ai pas trop compris pourquoi [tex]S_{n}^+ [/tex] est un fermé?
Qu'en est-il alors des autres ensembles?
Par ailleurs, comment montrer que l'intérieur de l'ensemble des matrices nilpotentes est l'ensemble vide?
- Fred
- 06-12-2014 17:40:54
Je réponds à la place de Roro.
[tex]M_n[/tex] est dans [tex]S_n^{++}[/tex] car ses valeurs propres sont strictement positives.
Il a effectivement démontré que [tex]S_n^+\subset\overline{S_n^{++}}[/tex], mais l'autre inclusion est triviale
si on sait que [tex]S_n^+[/tex] est fermé.
Et cette dernière propriété est claire si on sait qu'être dans [tex]S_n^+[/tex], c'est être symétrique (condition fermée) et c'est vérifier
[tex]\langle MX,X\rangle\geq 0[/tex] pour tout X, condition qui est aussi fermée.
F.
- Legendre
- 06-12-2014 16:57:04
Comment montres-tu que [tex]M_{n} \in S_{n}^{++}[/tex]? Ne montres-tu juste pas [tex]S_{n}^+ \subset \overline{S_{n}^{++}}[/tex]?
- Roro
- 06-12-2014 16:48:26
Bonjour,
Une réponse : Si [tex]M\in S_n^+[/tex] alors la suite [tex]M_n=M+\frac{1}{2^n}\mathrm{Id}[/tex] est une suite de [tex]S_n^{++}[/tex] qui converge vers M.
Roro.
- Legendre
- 06-12-2014 10:58:01
Salut,
Serait-ce possible d'avoir une démonstration?
J'ai une autre question... Comment comprendre l'adhérence et l'intérieur sur les matrices de manière intuitive, exemple sur le groupe des matrices inversibles, il est dense dans [tex]M_{n}(\mathbb{K})[/tex] en gros si on prend une matrice au hasard on a plus de chance de tomber sur une matrice inversible, est-ce bien ça? C'est par ailleurs un ouvert, donc si on change "un peu" les coefficients on a encore une matrice inversible?
Merci de m'aider
- Roro
- 05-12-2014 22:26:10
Re,
Dans ce cas ([tex]S_n[/tex] pourrait aussi être le groupe des permutations à n éléments, ou bien sans doute d'autre chose... selon le contexte) :
il me semble que [tex]S_n^+[/tex] est aussi un ensemble fermé, et je crois savoir que toute matrice symétrique réelle positive est limite d'une suite de matrices symétriques réelles définies positives : l'adhérence de [tex]S_n^{++}[/tex] serait alors [tex]S_n^+[/tex].
Roro.
- Legendre
- 05-12-2014 21:32:02
Je pensais que les notations étaient universelles ! Ces notations désignent respectivement l'ensemble des matrices symétriques, symétriques positives, symétriques définies positives
- Roro
- 05-12-2014 21:28:49
Bonsoir,
Pourrais-tu nous dire qui sont [tex]S_n[/tex], [tex]S_n^+[/tex] et [tex]S_N^{++}[/tex] sans quoi ton post n'a aucun sens !
Roro.