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L'intégrabilité sur [tex]]0,+\infty[[/tex]? Je pense plutôt que ca revient à l'intégrabilité de [tex]e^{-x^2}[/tex] sur [tex]\mathbb{R}[/tex].NPas vrai?

Ok, ca marche. Dérnière question. Comment justifier le fait que l'intégrale [tex]\displaystyle\int_{\mathbb{R}} e^{-y^2} y dy[/tex] soit finie?
Merci beaucoup.

1- étudier la convergence presque partout de [tex]f_n(x)[/tex]. Soit [tex]x[/tex] fixé dans [tex]\mathbb{R}[/tex]. Quand n tend vers [tex]+\infty[/tex], [tex]\sqrt{n} \to + \infty[/tex], et [tex]e^{-nx^2} \to 0[/tex], c'est une limite indéfinie, alors on oublie [tex]\sqrt{n}[/tex] pour le moment, et on considère [tex]g_n(x)=e^{-nx^2}[/tex] qui converge p.p vers 0.

2- Il faut trouver une fonction [tex]g[/tex] de X dans [tex][0,+\infty][/tex] majorant toutes les fonctions [tex]g_n[/tex]. on a [tex]|e^{-nx^2}| \leq \sup_x |e^{-nx^2}|[/tex]
mais ce dernier dépend de n,
comment trouver g?

et si on ne s'en doute pas, comment le trouver, en partant de mon avant dernier post?

oui, c'est [tex]a \delta_0[/tex]; mais comment l'avez vous trouvé? svp

Dans cet exercice, je ne comprend pas le calcul que vous avez fait, puisqu'on ne nous a pas donné la limite comme dans l'exercice précédent.
Si on applique la définition, on prend une fonction teste [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], et on a:
[tex]\lim_{n \to + \infty} \displaystyle\int_{\mathbb{R}}\sqrt{n} e^{-n x^2} \varphi(x) dx[/tex], on fait un changement de variables en posant [tex]y=\sqrt{n}x[/tex], et on obtient que
[tex]\lim_{n \to + \infty} \langle T_{f_n} , \varphi \rangle = \lim_{n \to + \infty} \displaystyle\int_{\mathbb{R}} e^{-y^2} \varphi(\dfrac{y}{\sqrt{n}}) dy[/tex].
Après ca, je ne vois pas comment finir.
si j'essaye l'ipp, en prenant [tex]v'=e^{-y^2}[/tex], on ne connait pas v.
Merci beaucoup.

Ah non, relis ton cours!
Quand tu dis que [tex](f_n)[/tex] converge dans [tex]\mathcal D'(\mathbb R)[/tex], tu parles de convergence au sens des distributions.
Donc en réalité tu fais un abus de langage. Ce n'est pas vraiment la suite [tex](f_n)[/tex] qui converge, c'est la suite des distributions associée à [tex](f_n)[/tex], c'est-à-dire la suite [tex](T_{f_n})[/tex]

Donc dire que [tex](f_n)[/tex] converge vers [tex]f[/tex] dans [tex]\mathcal D'(\mathbb R)[/tex], c'est dire que [tex](T_{f_n})[/tex] converge vers [tex]T_f[/tex], c'est dire que pour toute fonction test, [tex]\langle T_{f_n},\phi\rangle\to \langle T_f,\phi\rangle[/tex].

Maintenant, tu as une condition suffisante : si [tex](f_n)[/tex] converge vers [tex]f[/tex] dans [tex]L^1(\mathbb R)[/tex], alors [tex](T_{f_n})[/tex] converge vers [tex]T_f[/tex] (dans [tex]\mathcal D'(\mathbb R)[/tex].

Mais, comme c'est le cas ici, ta suite [tex](f_n)[/tex] peut très bien ne pas converger dans [tex]L^1(\mathbb R)[/tex] alors que la suite [tex](T_{f_n})[/tex] converge dans [tex]\mathcal D'(\mathbb R)[/tex].

F.