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Dans le problème de mon premier poste, si au lieu d'utliser les accroissements finis, on a majorer [tex]\displaystyle\int_0^{1/n} |\varphi(x) - \varphi(0)| dx[/tex] par [tex]\sup_{x \in K} |\varphi(x) - \varphi(0)|=M[/tex], où [0,1/n] est inclus dans n, et K est indépendant de n. Est-ce que c'est correcte?
Merci.

Une chose que je ne comprend pas ici, pourquoi on ne peut pas utiliser ici le résultat qui dit que: si [tex](f_n)[/tex] est une suite de [tex]L^1_{loc}[/tex], qui converge p.p vers f, et s'il existe [tex]g \in L^1_{loc}[/tex] telle que[tex] |f_n(x)| \leq g(x)[/tex], alors [tex]f_n[/tex] converge dans D' vers f.
Vous dites dans un précédent message, que c'est parce que [tex]\int |f_n| = \int |f_n|[/tex] , mais je ne comprend pas comment vous avez trouvé ce résultat, et que faut il en conclure?
Merci beaucoup.

Je vais peut être posé une question bête, mais je me mélange un peu. La suite [tex](f_n)[/tex] n'est pas conontinue, et pourtant elle est intégrable. C'est normal? Je veux dire que pour une fonction soit intégrable, elle doit être continue. Non?

La quéstion qui vient après, c'est: montrer que [tex]f_n^2[/tex] ne converge pas dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R})[/tex].
Voici ce que j'ai fait. Soir [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]. On a:
[tex]\lim_{n \to + \infty} \langle T_{f_n^2},\varphi\rangle = \lim_{n \to +\infty} \displaystyle\int_0^{1/n} n^2 \varphi(x) dx = \lim_{n \to + \infty} n^2 \displaystyle\int_0^{1/n} \varphi(x) dx.[/tex]
Comme [tex]\varphi[/tex]  est une fonction test, alors [tex] \displaystyle\int_0^{1/n} \varphi(x) dx=M[/tex], ainsi,
[tex]\lim_{n \to + \infty} \langle T_{f_n^2},\varphi \rangle = \lim_{n \to + \infty} (n^2 M) = + \infty[/tex], d'où la non convergence de [tex]f_n^2[/tex] dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R})[/tex].
Avez vous une remarque, et est-ce qu'il y'a une méthode plus directe pour y arriver? (par exemple en utilisant la question précédente

et pour ma question 2, on a:
[tex]|\langle T_{f_n},\varphi \rangle - \langle \delta,\varphi \rangle| \leq n \displaystyle\int_0^{1/n} |\varphi(x)-\varphi(0)| dx.[/tex]
Par les accroissements finis, il existe [tex]\xi_x \in ]0,x[[/tex], telle que: [tex]\varphi(x)-\varphi(0)=x \varphi'(\xi_x)[/tex]. Ainsi,
[tex]  |\langle T_{f_n},\varphi \rangle - \langle \delta,\varphi \rangle| \leq n \displaystyle\int_0^{1/n} |x \varphi'(\xi_x)| dx  [/tex];
où [tex]M=\sup_{x \in supp \varphi} |\varphi(x)|[/tex]
[tex]\leq n M \displaystyle\int_0^{1/n} x dx = \dfrac{M}{2} n \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{M}{2} n \dfrac{1}{n^2}[/tex] qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini, d'où la convergence.

est-ce que tout est correct svp?

pour 1, on fixe le x et à partir d'un certain rang n_0, x qu'on a fixé devient dans le complémentaire de ]0,1/n[ (on a un peu l'impression que x n'est pas fixé comme ca), mais en fait, le domaine où vit x, dépend de n. c'est bien ca? et f_n dépend de n?
Et pour finir, la limite simple est donc 0?

Bonjour,
Soit une suite [tex](f_n)[/tex] donnée par:
[tex]
f_n(x)
=
\begin{cases}
n,  & x \in ]0,1/n[\\
0, & x \in C_{\mathbb{R}}(]0,1/n[)
\end{cases}
[/tex]
La question est d'étudier la convergence simple de [tex](f_n)[/tex].
Soit donc [tex]x[/tex] fixé dans [tex]\mathbb{R}[/tex], et on cherche [tex]\lim_{n \to +\infty } f_n(x)[/tex]. Je n'arrive pas à expliquer comment calculer cette limite.

2- et ma deuxième question, est comment montrer que la suite [tex](f_n)[/tex] converge dans [tex]\mathcal{D}'(\mathbb{R}[/tex].
Pour ca, il suffit de montrer que pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], on a:
[tex]\lim_{n \to +\infty} \langle T_{f_n} , \varphi \rangle = \varphi(0)[/tex].
J'ai fait ceci:
[tex]|\langle T_{f_n},\varphi \rangle| \leq n \displaystyle\int_0^{1/n} |\varphi(x) - \varphi(0)| dx[/tex].
je ne sais pas comment finir.

Merci de m'aider.