Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Ca, c'est facile, car dans S4 il y a S3, qui est d'ordre 6.

Ca suffit de vérifier avec un seul des 3-cycles, cela marcherait de la même façon (par symétrie du rôle joué par 1,2,3,4) pour les autres 3-cycles.

Voici une esquisse de preuve plus algébrique :
1. Si G était un sous-groupe d'ordre 6 de A4, alors il serait d'indice 2. En particulier, pour tout [tex]x\notin G[/tex], on aurait [tex]G\cup xG=A_4[/tex]
2. On prouve alors que [tex]G[/tex] doit contenir tous les éléments du type [tex]x^2[/tex].
3. Des carrés dans A4, il y a en a 9 (tous les 3-cycles sont des carrés).

F.

Tu peux choisir un des 3-cycles et calculer tous les conjugués avec les double-transpositions (ce qui te fait 3 calculs) et tu pourras le constater...

Oui, c'est un 3-cycle, et en plus son support est différent du support de [tex]s_1[/tex], on a donc fait apparaître un nouveau 3-cycle, et on est ramené à un cas précédent.

Certes, mais encore.... Parmi les permutations de A4, de quel type est cette nouvelle permutation?

Pardon, je me suis trompé, je voulais dire [tex]s_2\circ s_1\circ s_2^{-1}[/tex]

Alors donc, dans A4, il y a :
- l'identité
- 3 doubles transpositions
- huit 3-cycles.

Imaginons qu'il y ait un sous-groupe G à 6 éléments. Il contient forcément l'identité.
S'il contient un 3-cycle, il contient tous les itérés, soit encore 3 autres éléments.
Ainsi, il n'y a plus de place pour contenir un autre 3-cycle.
Mais on n'est pas encore rendu à 6 éléments. Il faut donc au moins une double transposition dans le sous-groupe.
Mais là encore, cela va être impossible. Pourquoi? Note [tex]s_1[/tex] ton 3-cycle et [tex]s_2[/tex] ta double transposition.
A quoi est égal [tex] s_2\circ s_1\circ s_1^{-1} [/tex]???

F.

Bonsoir,

  Je veux bien t'aider. Peux-tu d'abord nous donner la liste de tous les éléments de A4.

F.