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alors [tex]\lim_{\epsilon \to 0} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi_x) dx = \displaystyle\int_0^a \varphi''(\xi_x) dx[/tex]? c'est bien?

Pardon. J'ai refait les calcul, et j'obtient que
[tex]
u_{\epsilon}=-\dfrac{\varphi(0)}{a} + \varphi'(0) \ln(a) + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi_x) dx
[/tex]
si on essaye de majorer [tex]u_{\epsilon}[/tex], on obtient
[tex]
|u_{\epsilon}| \leq \dfrac{\varphi(0)}{a} + \varphi'(0) \ln(a) + \dfrac{1}{2} \sup_x |\varphi''(x)| (a-\epsilon)
[/tex]
et tout ca ne tend pas vers zéro. Comment on peut déduire que la limite existe?

Bonjour,
j'ai un autre souci, avec l'application
[tex]
\langle Pf(\dfrac{H}{x^2}),\varphi \rangle = \lim_{\epsilon \to 0}
[\displaystyle\int_{\epsilon}^{+\infty} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx - \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + \varphi'(0) \ln(\epsilon)]
[/tex]
est-ce que cette application est bien définie? En utilisant le développement de Taylor-Lagrange d'ordre un, au voisinage de 0, au point x, on a
[tex]
u_{\epsilon}=\displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi(0)}{x^2} dx + \displaystyle\int_{\epsilon}^a \dfrac{\varphi'(0)}{x} dx
+ \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi_x) dx - \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + \varphi'(0) \ln (\epsilon)
[/tex]
ainsi,
[tex]
u_{\epsilon}=-\dfrac{\varphi(0)}{a} + \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + \varphi'(0) [\ln(a)-\ln(\epsilon)]
+ \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi_x) dx - \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon} + \varphi'(0) \ln (a)
[/tex]
donc,
[tex]
u_{\epsilon} = - \dfrac{\varphi(0)}{a} + \varphi'(0) [2 \ln (a)] - \varphi'(0) \ln(\epsilon) + \dfrac{1}{2} \displaystyle\int_{\epsilon}^a \varphi''(\xi_x) dx
[/tex]
ici il y'a un vrai problème lors du passage à la limite, et je ne vois pas de passage à la limite possible.
Merci pour l'aide