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newton1 · 17-07-2014 13:25:23

bonjour, vraiment merci pour cette aide qui m'a beaucoup aider. je pense que ce forum est le meilleur et nous aide a nous perfectionner et a etre encore performant en mathematique. vraiment merci

Fred · 14-07-2014 20:31:17

C'est presque cela, tu dois écrire [tex]f(k_n x)[/tex] et non [tex]f(k_n)[/tex].

F.

newton1 · 14-07-2014 19:59:13

si je comprend bien, comme Q est dense dans R, alors toute suite d'elements de Q a sa limite dans R et comme f est continue, ainsi on a f(lim kn)=lim f(kn) et on a le resultat recherché. vraiment merci M. fred

newton1 · 14-07-2014 19:45:54

svp, qu'est ce que vous appelez post 6... je ne comprend pas.

Fred · 14-07-2014 18:02:36

L' "astuce" est dans le post 6...

F.

newton1 · 14-07-2014 16:45:03

bonsoir, grand merci pour cette astuce. cela m'a beaucoup aider. mais je me demande comment faire pour utiliser que si k n'est pas rationnel, comment utiliser la continuité de f partout et le fait que f(rx)=rf(x) pour montrer que f(kx)=kf(x) pour k non rationnel. svp une autre astuce pour cette partie m'aiderait beaucoup. cordialement

Fred · 13-07-2014 17:16:54

L'astuce est :

f(x)+f(-x)=f(x+-x)=f(0)

et f(0)=0 car f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)

Pour la question 6, oui!

newton1 · 13-07-2014 13:45:27

Donc au niveau de la 6e question, on utilise les questions 3 et 5 pour demontrer que f(kx)=kf(x) pour tout reel k?

et puis svp, je narrive pas demontrer que f(px)=pf(x) pour p entier negatif. quelle est l'astuce?(rappel de l'hypothese: f(x+y) =f(x) +f(y))

Fred · 12-07-2014 06:50:45

newton1 a écrit :

merci fred. svp c'est un theoreme qui dit toute fonction continue f telle f(rx)=rf(x) pour tout rationnel r, est lineaire?

Non, il faut un argument qui utilise que les rationnels sont denses dans les réels, et que f est continue.

et puis es ce que les questions 1,2 et 3 balaient la formule f(kx)=kx pour tout reel k?

Je ne comprends pas ce que tu veux dire... Ce n'est qu'après le dernier point qu'on arrive à démontrer la formule pour tout réel k.

F.

newton1 · 11-07-2014 21:18:25

merci fred. svp c'est un theoreme qui dit toute fonction continue f telle f(rx)=rf(x) pour tout rationnel r, est lineaire? et puis es ce que les questions 1,2 et 3 balaient la formule f(kx)=kx pour tout reel k?

Fred · 11-07-2014 20:16:47

Bonsoir,

Du calme, du calme, si quelqu'un sait il va te répondre....
En fait, ce n'est pas si facile que tu le penses. Je crois qu'il faut d'abord démontrer la continuité pour démontrer que f est linéaire. Voici un plan d'attaque :

1. Démontrer que f(px)=pf(x) pour tout entier p.

2. Démontrer que f(x/q)=f(x)/q pour tout entier naturel q.

3. En déduire que f(rx)=rf(x) pour tout rationnel r.

4. Démontrer que f est continue en 0. Pour cela, si tu notes [tex]M=\sup \{\|f(x)\|;\ \|x\|\leq 1\}[/tex], tu pourras remarquer que
si [tex] \|x\|\leq \frac 1p[/tex], alors [tex] \|f(x)\|\leq M/p [/tex]

5. Démontrer que f est continue partout (vient facilement de 4. et de la relation vérifiée par f)

6. Déduire de 3 et 5 la linéarité de f.

Fred.

newton1 · 11-07-2014 18:40:46

svp jai besoin d'indication pour la linearité. merci de votre comprehension

newton1 · 11-07-2014 18:29:07

je sais que si f est lineaire et comme f est bornée sur la boule unité de E alors f sera continue. maintenant, comment montrer que f est lineaire?

newton1 · 11-07-2014 18:21:55

soient E et F deux R-espaces vectoriels normes et f une application de E dans F bornée sur la boule unité de E et telle que f(x+y) =f(x)+f(y) pour tout x et y dans E. montrer que f est lineaire et continue

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