Répondre

JeanPaul · 18-06-2014 15:09:43

J'ai donc refait tout ça, finalement j'ai
(a) pas de solution (b) pas de solution
(c) Solution : x=9 (d) Solution : x=11
(e) Solution : x=(0,6) (f) Solution : x=(5,11)

yoshi · 18-06-2014 11:52:48

Salut,

Pfffiou... quelle présentation ! Un de ces jours tu vas t'y paumer toi-même !
Le problème du / c'est que c'est un symbole de division pas un séparateur...
Préférable est :
10*5 = 50 ; 50-12*4 = 2. Non ?
Et j'espère que chez toi, tu as élaboré un raisonnement pour trouver x = 5, pas seulement :
"j'ai eu une illumination : 5 s'est imposé à moi, et d'ailleurs c'est bien une solution, la preuve : (...)"

10x=0 avec x =6 10*6 =60 / -12*5 =0

Et x = 0 ?

Pour les autres j'ai fait : k appartient à {0,1,2} x=4k 3x= 12k reste 0 / x=4k+1 3(4k+1) = 12k+3 reste 3

les autres = lesquels ?
Pourquoi seulement [tex]k \in \{0,1,2\}[/tex] ? parce qu'alors [tex]4k \in \{0,4,8\}[/tex]... Et 1,2,3,5,6,7,9,10,11, pourquoi tu les vires de ton étude ?

et pour 7 j'ai fait 7*1 =1 ; 7*2 = 2 ; 7*3 = 9 ; 7*4 = 4 ; 7*5 = 11 ; 7*6 = 6 ; 7*7 = 1

D'accord, à part le 7 * 1 = 1...
Et 7*8 ? ; 7 * 9 ? ; 7 * 10 ? ; 7 * 11 ?

J'ai beau tout repasser au crible, je ne vois pas le rapport entre ton post ci-dessus et mon post précédent #31... Je me trompe ?

@+

JeanPaul · 18-06-2014 11:10:19

je trouve donc seulement une réponse pour 10x =2 avec 10*5 =50 / -12*4 =2
Et 10x=0 avec x =6 10*6 =60 / -12*5 =0
Pour les autres j'ai fait : k appartient à {0,1,2} x=4k 3x= 12k reste 0 / x=4k+1 3(4k+1) = 12k+3 reste 3
il ny'a pas 1 ou 7
et pour 7 j'ai fait 7*1 =1 7*2 = 2 7*3 = 9 7*4 = 4 7*5 = 11 7*6 =6 7*7 = 1
Il ny'a pas 3 ou 5

yoshi · 18-06-2014 10:36:20

RE,

J'avais légèrement modifié mon texte entretemps et remis un lien...

5) Montrer que l'equation 6x=1 n'a pas de solution dans Z/12Z (On pour remarquer que si x est solution alors c'est un inverse de 6)

La réponse figure à la question 2.
Il faut donc que 6 ait un inverse, c'est à dire qu'il soit inversible, et la liste des éléments inversibles figure au 2.

6) Montrer que 6x =5 n'a pas de solution dans x appartenant à Z/12Z

Le tableau de freddy (colonne 6) montre que l'on peut avoir que 6x =0 ou 6x =6.
Sans tableau, on prend [tex]k \in \{0,1,2,3,4,5\}[/tex]
Et on étudie 2 cas :
x = 2k
6x = 12k =0 [12]
et
x = 2k+1
6(2k+1)= 12k + 6 = 0 + 6 = 0 [12]
jamais 5...

7) Les équations suivantes possédent-elles une solution x appartient à Z/12Z ? Si oui laquelle ou lesquelles, justifier chaque réponse)
=> 3x =1 / 7x=3 /10x =0 / 3x =7 / 7x =5 / 10x=2

Si 3x = 1 alors x est un inverse de 3. voir Q6

10x = 5 revient à résoudre 5x=1.

Pour les autres, pour avoir une idée de la réponse (c'est toujours préférable) ==> tableau de freddy.
Après, c'est simple.
Si 3x = 7 alors 12x = 28 = 4 ... [12] possible ou pas ?
Si 7x = 3 alors 28x = 12 = 0 [12] [tex]\Rightarrow[/tex] 4x = 0 [12]... possible ou pas ? (vérifie !)

@+

JeanPaul · 18-06-2014 10:17:23

Je ne l'avais pas vu sous cet angle, pourtant simple mais ça pose bien les bases pour le correcteur.
:)
Pour la 5 et 6 je pense voir comment faire mais pas comment le formuler?
Je pensais raisonner par l'absurde, est ce un bon choix?
(de même pour la 7)

yoshi · 18-06-2014 10:12:10

Salut,

5²=1, 7²=1, 11² =1 suffisent puisque, avec [tex]k \in \mathbb{N}[/tex] :
[tex]5^2 = 1[/tex], donc [tex] 5^4 = \left(5^2\right)^2 = 1^2 = 1[/tex]

Et donc tu peux dire que [tex]5^{2k}= \left(5^2\right)^k = 1^k = 1[/tex]
Et donc que [tex]5^{2k+1}= \left(5^2\right)^k \times 5= 1 \times 5 = 5[/tex]
Idem pour 7 et 11.
C'est donc toujours vrai...
Fred t'a donné une définition d'un générateur, voici un lien déjà donné :
http://www.math.polytechnique.fr/~harin … Groupe.pdf p.2

@+

JeanPaul · 18-06-2014 10:03:09

11^1 =11 / 11^2 = 121 = 12*10 +1 / 11^3 =1331 = 1320+11 / 11^4 = 14641 =14640+1
7^1 = 7 / 7^2 =49 = 4*12+1 / 7^3 = 343 =12*28 + 7
5^1 = 5 / 5^2 =25 =2*12+1 / 5^3 = 125 =12*10+5
1^1 =1 /1^2 =1 etc
Cette demonstration est suffisante pour montrer qu'il ny' a pas de générateur? (en supposant que j'ai raison sur ce point.)

Fred · 18-06-2014 09:29:40

Pourquoi Bezout????
La division euclidienne tu veux dire???

7^2=49=4*12+1, donc 7^2=1, et 7 n'est effectivement pas un générateur...

JeanPaul · 18-06-2014 09:04:54

Pour les puissances je les fais disons normalement avec 7^2 = 49 puis j'utilise bezout?
ou je me trompe sur ce point et ma methode n'est pas la bonne?
Je n'ai pas trouvé de generateur donc je me pose la question.
Cordialement

Fred · 18-06-2014 06:21:11

* Quel est l'ordre de (Z/12Z) ?

L'ordre d'un groupe, c'est le nombre d'élément du groupe!!! Je suis sûr que tu as cette définition dans ton cours!!!

* Quels sont les ordres possibles des élements de (Z/12Z)*?

Connais-tu le théorème de Lagrange???

* Le groupe (Z/12Z)* posséde t'il un génerateur?

g est un générateur d'un groupe G si quand tu regardes toutes les puissances de g, on obtient tous les éléments de G.
Ainsi, tu dois prendre 1, 5, 7 puis 11, et regarder si quand tu fais disons 5, 5^2, 5^3, 5^4,..., on obtient tous les éléments de (Z/12Z)*, c'est-à-dire 1,5,7,11.

Fred.

JeanPaul · 17-06-2014 22:35:06

J'ai donc 4 élements inversibles, le groupe (Z/12Z)* est donc (1,5,7,11) ?
pour l'ordre je ne sais pas trop je dirais 4 du coup avec 1 5 7 11 leur ordres possibles?
Pour le generateur j'ai trouvé ça sur le net :
"un generateur x de Z/5Z si il est parmi 1, 2, 3 ou 4 doit verifier x^5 = 1"
Je ne sais pas si c'est bon du coup je sais pas trop quoi répondre. encore merci pour les explications j'ai fait quelques autres sujets en parallèle et je commence à saisir le truc.
Toujours quelques soucis avec cette notion de generateur

Fred · 17-06-2014 21:01:59

JeanPaul a écrit :

Donc si je me refére au tableau du post 3 j'ai donc 3 éléments inversibles?

Pas tout à fait, car il manque 1 qui n'apparait pas dans le tableau (mais qui est toujours inversible)

soit 6 avec le +/- ?

Pas du tout!!!! Freddy a pris tous les éléments de Z/12Z et a regardé quels étaient leurs multiples.
Donc pas besoin de prendre un signe en plus.
D'ailleurs, 5 et 7 sont inversibles, et 7=-5 modulo 12 donc -5 et 7 sont les mêmes éléments dans Z/12.

Fred.

JeanPaul · 17-06-2014 16:24:11

Donc si je me refére au tableau du post 3 j'ai donc 3 éléments inversibles? soit 6 avec le +/- ?
Cependant je ne comprend pas trés bien la notion d'ordre et de génerateur (j'ai lu le cour mais je ne le comprend pas vraiment :x)
C'est pourquoi je fais des sujets pour apprendre ces notions je comprend mieux quand je le fais
Cordialement

Fred · 17-06-2014 08:57:14

Non!!!! Es-tu sûr d'avoir lu ton cours????
(Z/12Z)* est le groupe des éléments inversibles de Z/12Z, muni de la multiplication....

JeanPaul · 17-06-2014 08:45:08

Pour les élements inversibles j'ai utilisé Euler ce qui me semblait bon, je comprend pas trop la notion de (Z/12Z)* c'est cet ensemble x lui même?

Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Répondre

Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)

Pied de page des forums