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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- Fred
- 18-03-2014 22:23:50
Alors s'il y a de la physique, je déclare forfait!!!!
- Matt_Raq
- 18-03-2014 22:16:33
L'ennui c'est qu'il y a de la physique derrière certaines équations et dans mon cas, ça ne doit pas diverger!!!
J'ai donc une contrainte du type [tex]a+bz_1=0[/tex] pour éviter la divergence (si [tex]t[/tex] est réel)
- Fred
- 18-03-2014 21:38:43
Re-bonjour à tous,
Je ressort le sujet pour éclaircir un point obscur lorsque les deux racines sont distinctes. Au dénominateur, on a un polynôme à coefficients complexes de la forme [tex]z^2+z_0[/tex].
1 - Les racines vérifient donc [tex]z_1 = - z_2[/tex]?
Oui!!
La transformée inverse est
[tex]\frac{a+bz_1}{z_1-z_2}e^{z_1 t} + \frac{a+bz_2}{z_2-z_1}e^{z_2 t}[/tex]2 - Si les parties réelles des racines [tex]z_1[/tex] et [tex]z_2[/tex] sont non-nulles, l'égalité [tex]z_1 = - z_2[/tex] implique la divergence d'un des 2 termes lorsque [tex]t[/tex] est grand? Le paramètre [tex]t[/tex] est-il complexe?
Merci,
MathRack
Qu'entends-tu par la divergence d'un des deux termes? Qu'il tend vers l'infini? Ce n'est pas gênant, on peut très bien calculer la transformée de Laplace de [tex]e^t[/tex] par exemple....
Fred.
- MathRack
- 18-03-2014 18:22:00
Re-bonjour à tous,
Je ressort le sujet pour éclaircir un point obscur lorsque les deux racines sont distinctes. Au dénominateur, on a un polynôme à coefficients complexes de la forme [tex]z^2+z_0[/tex].
1 - Les racines vérifient donc [tex]z_1 = - z_2[/tex]?
La transformée inverse est
[tex]\frac{a+bz_1}{z_1-z_2}e^{z_1 t} + \frac{a+bz_2}{z_2-z_1}e^{z_2 t}[/tex]
2 - Si les parties réelles des racines [tex]z_1[/tex] et [tex]z_2[/tex] sont non-nulles, l'égalité [tex]z_1 = - z_2[/tex] implique la divergence d'un des 2 termes lorsque [tex]t[/tex] est grand? Le paramètre [tex]t[/tex] est-il complexe?
Merci,
MathRack
- Fred
- 11-03-2014 19:55:12
Et donc, si je reprends le formulaire, les termes en [tex]\frac 1{z-z_1}[/tex] se remontent en [tex]\exp(z_1 t)[/tex] et les termes en
[tex]\frac 1{(z-z_1)^2}[/tex] se remontent en [tex]t\exp(z_1t)[/tex].
F.
- MathRack
- 11-03-2014 09:55:12
Merci Fred,
Je poste la décomposition en éléments simples pour compléter. Soit [tex]z_1[/tex] et [tex]z_2[/tex] les racines du dénominateur.
1 - Si [tex]z_1=z_2[/tex] :
[tex]\frac{a+zb}{z^2 - c^2 + \sqrt{-1}d} = \frac{b}{z-z_1} + \frac{a+bz_1}{\left(z-z_1\right)^2}[/tex]
2 - Si [tex]z_1 \neq z_2[/tex] :
[tex]\frac{a+zb}{z^2 - c^2 + \sqrt{-1}d} = \frac{a+bz_1}{z_1-z_2} \frac{1}{z-z_1} + \frac{a+bz_2}{z_2-z_1}\frac{1}{z-z_2}[/tex]
Merci pour votre aide,
MathRack
- Fred
- 10-03-2014 22:15:08
Bonjour MathRack,
1. Oui, on peut calculer aussi la transformée de Laplace d'une fonction complexe.
2. On peut trouver la transformée de Laplace inverse de ce genre de fonctions. Il suffit de la décomposer en éléments simples....
F.
- MathRack
- 10-03-2014 11:09:21
Bonjour,
Je sollicite votre aide pour quelques éclaircissements sur la transformée de Laplace :
1 - D'après l'article ici , pour une fonction [tex]f(t) : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}[/tex], sa transformée de Laplace est complexe [tex]\overline{f(t)} = \overline{f}(z) : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}[/tex]. Peut-on appliquer la transformation à une fonction complexe [tex]f(t) : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{C}[/tex]?
2 - Si c'est possible, je trouve une fonction de la forme (a,b,c,d réels) :
[tex]\overline{\phi}(z) = \frac{a + zb}{z^2 - c^2 + \sqrt{-1}d}[/tex]
Y a-t-il une petite chance de pouvoir calculer une transformée de Laplace inverse? (je vais essayer de la calculer moi-même mais j'aimerais bien savoir si cela vous semble possible)
Merci,
MathRack