Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Oui c'est bon j'ai réussi, merci beaucoup!!!
Par contre j'ai pas fait comme toi pour finir:

Connaissant x2, je le remplace dans l'expression de la contrainte budgétaire: [tex]R=p1x1+p2x2[/tex]

j'en déduis: [tex]x1 =  \frac{R-p1+\frac{bp2}{a}}{p1}[/tex]

Connaissant x1* et x2* j'en déduis V(p1,p2,R). Or comme je connais [tex]{\frac{\partial V}{\partial R}}[/tex], en dérivant l'expression de la fonction d'utilité indirecte que j'ai trouvée, je trouve a = b = 1 Donc j'ai U(x1;x2) et je peux finir après .

Ok je crois que je commence à voir là ou tu veux en venir, je vais essayer de bien attaquer, faudrait que j'arrive à le plier ce soir cet exo.

On a une idée de la forme de la fonction d'utilité indirecte (cf. post plus haut)
On sait qu'à l'équilibre: [tex] f'(x2) = Um(x2) = \frac{p2}{p1} [/tex]

Or [tex]V(p1,p2,R) = U(x1*;x2*) = x1* + f(x2*)[/tex]
En comparant cette fonction d'utilité indirecte avec la forme de celle trouvée précédemment, on se doute que f(x) sera de la forme ln(ax+b) (C'est le point ou je diffère un peu de ton raisonnement, parce qu'avec les solutions que j'ai trouvées, ma fonction d'utilité est plus de la forme ln(ax+b), car si b=0 on a problème d'utilité marginale en 0 et je pense que les hypothèses des préférences monotones croissantes imposent un + devant le ln non?)

Du coup, [tex]V(p1,p2,R) = x1* + ln(ax2* + b)[/tex]       (où xi* = xi(R,p1,p2))

Or [tex] f'(x2) = \frac{p2}{p1} [/tex] d'après la condition d'équilibre que tu m'as faite trouver plus haut. on en déduit:

[tex] \frac{a}{ax2+b} = \frac{p2}{p1}[/tex] et donc [tex]x2^*= \frac{p1}{p2} - \frac{b}{a}[/tex]

C'est ce que t'avais en tête?

Re,

En faisant le programme je trouve bien [tex]f'(x2)= \frac{p2}{p1}[/tex] (rapport des utilités marginales = rapport des prix), or f'(x2) représente l'utilité marginale du bien 2.
C'est à dire le gain d'utilité résultant de la consommation d'une unité supplémentaire. Or comme les préférences sont quasi linéaires, l'utilité marginale du bien 1 est constante est égale à 1.
On en déduit que tant que [tex] \frac{Um(x2)}{p2}>\frac{1}{p1}[/tex] le consommateur préfèrera consommer du bien 2, jusqu'à ce qu'il y ait égalité entre les 2 termes, ensuite chaque fraction de revenu supplémentaire sera affectée à la consommation du bien 1. A l'équilibre on aura donc l'égalité [tex]Um(x2)=\frac{p2}{p1}[/tex].

Mais je vois pas comment en déduire la forme de f... Car j'ai juste une expression sur f' à l'équilibre, et donc avec les prix, ce que je ne peux pas utiliser pour la fonction d'utilité.
Ah mais par contre pour la fonction d'utilité indirecte c'est intéressant, j'essaie!

je t'attends!

On sait que:

- La dérivée de la fonction d'utilité indirecte par rapport à p2 est: [tex] \frac{p2-p1}{p2p1}[/tex]

- L'élasticité revenu du bien 2 est nulle

On en déduit:

- V(p1,p2,R) = [tex] \frac{p2}{p1}[/tex] - ln(p2) + K(p1,R)   (où V(.) est la fonction d'utilité indirecte)

-[tex] \frac{\partial x2}{\partial R}.\frac{R}{x2}[/tex] = 0 donc [tex] \frac{\partial x2}{\partial R}[/tex] = 0 car R différent de 0

De plus:

- Avec la relation de Slutsky: [tex] \frac{\partial x2}{\partial p1}[/tex] = [tex] \frac{\partial h2}{\partial p1}[/tex]
On en déduit que x2* = h2* et donc que x2* = x2 (p1,p2) et h2*= h2 (p1,p2)

- Le fait que x2* ne dépende pas de R --> Les préférences sont quasi linéaires, et la fonction d'utilité peut s'écrire U = f(x1) + g(x2)

- Avec l'identité de Roy:  x2 = [tex] \frac{\frac{\partial V}{\partial p2}}{\frac{\partial V}{\partial R}}[/tex]

On peut en déduire soit: x2(.)*[tex]{\frac{\partial V}{\partial R}}[/tex] = = [tex] \frac{p2-p1}{p2p1}[/tex]

soit: la dérivée seconde de V par rapport est nulle (en dérivant des 2 côtés de l'identité de Roy)

A quelques trafics prêt, voilà ou j'en suis. Après j'ai juste écrit chacune de ces relations différemment mais ça m'a rien apporté

Dans ce que je devrai (je pense) utiliser mais que j'ai pas encore réussi à caser:
- Lemme de Schepard
- relation inverse entre fonction de dépense et fonction d'utilité indirecte
- Lien entre demandes marshaliennes et hicksiennes

En attendant ton "décoinçage"... merci!

Honnêtement, j'ai l'impression d'avoir plusieurs "morceaux" mais j'arrive pas à pas à faire le lien entre eux pour les utiliser. Je vois pas par ou commencer.
Le seul truc que j'arrive à combiner, c'est le fait que l'élasticité revenu du bien 2 soit nulle. Ainsi en dérivant l'identité de Roy et en l'annulant, je peut obtenir une forme plus précises de la fonction d'utilité indirecte (il me reste juste une constante qui dépend de p1, plus de P1 et R).
Après je me suis fait une fiche à partir de toutes les relations entre programme primat et dual, comment passer des fonctions de demandes marshaliennes à hicksiennes, avec l'utilité indirecte, la fonction de dépense et ainsi de suite mais je n'arrive pas à l'utiliser vu qu'il faut que je connaisse au moins une de ces fonctions.

Je veux bien que tu m'aides à démarrer, après ça devrait s'enchaîner pas trop mal.

merci

Ah oui désolé pour les notations:
Alors V(p1,p2,R) représente la fonction d'utilité indirecte.
On est dans le cas basique d'un consommateur (qui dispose d'un revenu R pour consommer 2 biens aux prix p1 et p2)

J'ai déjà avancé un peu, mais je tourne en rond au bout d'un moment:
- j'ai commencé par intégrer la dérivée partielle qu'on nous donne indirecte par rapport à p2 pour trouver une première forme de l'utilité indirecte (à laquelle j'ajoute une constante K(p1,R) dépendant de p1 et R)
- Ensuite j'ai essayé d'utiliser l'identité de Roy, puisqu'on connait le numérateur de la fraction, et que la dérivée de x2/R est nulle (car on nous dit que l'élasticité revenu du bien 2 est nulle)
- Je sais aussi, avec la relation de Slutsky, que les demandes marshaliennes et hicksiennes sont identiques pour le bien 2. Et comme la consommation de bien 2 (x2*) ne dépend pas du revenu, je pense que la fonction d'utilité est de la forme f(x1) + f(x2) avec f(x1) = x1 ce qui veut dire qu'à partir du moment ou le consommateur a consommé une quantité de bien 2 qui fait décroitre son utilité marginale jusqu'à celle du bien 1 (constante) le consommateur n'aura intérêt à consommer que du bien 1

En gros voilà ou j'en suis, mais j'arrive pas à faire le lien entre ces différents points!

Merci pour ton lien, je vais voir

Salut,

pourrais tu définir stp, ta fonction v, et rappeler d'où elle vient ? N'oublie pas que ces sujets n'ont pas encore atteint un niveau suffisant de maturité pour que tous les symboles utilisés soient les mêmes pour toute la communauté. On peut presque dire que chaque "école" a encore son propre système de notation. Il est donc d'usage, pour tous ceux qui te lisent, de donner presque chaque fois le sens des symboles qu'on utilise.
Par exemple, on dit qu'on a deux biens dont les prix respectifs sont [tex]p_1[/tex] et [tex]p_2[/tex], que le consommateur dispose d'un revenu [tex]R[/tex] affecté à sa consommation, etc ...

Si tu précises tes notations et donne tes points d'achoppement - car là, tu demandes ni plus ni moins qu'on fasse ton job ;-) - je pense qu'on pourra avancer de conserve dans le courant de la journée :-)

A te lire !