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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- dh8
- 25-01-2014 21:40:40
mais est ce que le fait qu'une fonction ne soit pas localement intégrable au voisinage de 0, suffit à conclure qu'on ne peut pas la prolonger à [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]? regarder par exemple [tex]\exp(1/x)[/tex] par exemple. Non,
- Fred
- 25-01-2014 20:55:45
On peut en déduire que [tex]u[/tex] est la distribution associée à la fonction constante [tex]\langle u,\chi' \rangle [/tex].
- dh8
- 25-01-2014 19:42:18
Dérnier point, qu'est ce qu'on peut déduire de l'éqgalité [tex]<u,\varphi>=<u,\chi'>\displaystyle\int \varphi(t) dt[/tex] qu'on a montré plus haut?
- Fred
- 25-01-2014 18:53:24
Parce que [tex]e^{1/x^2}\geq \frac 1x>0[/tex] au voisinage de 0, et que cette dernière fonction n'est pas intégrable.
- dh8
- 25-01-2014 15:56:30
Merci beaucoup, c'est très clair. Il reste un point que je ne comprend pas vraiment, si: la fonction [tex]e^{1/x^2}[/tex] n'est pas intégrable en 0, parce que [tex]xe^{1/x^2}->+\infty[/tex] si [tex]x->0[/tex]. Je ne comprend pas cette implication. Comment on voit que [tex]e^{1/x^2}[/tex]n'est pas intégrable en 0?
- Fred
- 25-01-2014 13:20:02
Okay! ca vaut 0. Merci beaucoup.
Dernière question svp. Comment on montre que [tex]e^{1/x^2}[/tex] appartient à [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R}^+[/tex]?
Parce que la fonction [tex]e^{1/x^2}[/tex] est bornée sur tous les compacts de [tex]]0,+\infty[[/tex], et donc elle est localement intégrable sur
[tex] ]0,+\infty[ [/tex]
et pourquoi on ne peut pas le prolonger à [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R})[/tex]?
Merci pour l'aide.
Parce que, si tu prends une fonction test [tex]\phi[/tex] égale à 1 au voisinage de 0, alors
[tex]\int_{\mathbb R} \phi(x)e^{1/x^2}dx[/tex] n'est pas une intégrale convergente, car elle ne converge pas en 0.
En effet, au voisinage de 0,
[tex]\phi(x)e^{1/x^2}\sim e^{1/x^2} [/tex] et cette dernière fonction n'est pas intégrable en 0,
par exemple parce que [tex]xe^{1/x^2}\to +\infty\textrm{ si }x\to 0[/tex].
F.
- dh8
- 25-01-2014 00:14:49
Okay! ca vaut 0. Merci beaucoup.
Dernière question svp. Comment on montre que [tex]e^{1/x^2}[/tex] appartient à [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R}^+[/tex]? et pourquoi on ne peut pas le prolonger à [tex]\mathcal{D'}(\mathbb{R})[/tex]?
Merci pour l'aide.
- Fred
- 24-01-2014 23:03:40
Re-
Puisque [tex]u[/tex] est à dérivée nulle, on a [tex]\langle u,\psi'\rangle =0[/tex].
Je te laisse achever le calcul....
F.
- dh8
- 24-01-2014 17:27:26
merci. Il me reste la dérnière question de cet exercice qui me parait un peu bizar, je ne la comprend pas vraiment.
Soit [tex]u[/tex] une distribution sur [tex]\mathbb{R}[/tex], puis pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\R)[/tex] on a posé [tex]\psi(x)=-\displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(t) dt + (\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) dt) \chi(x)[/tex]
La question est: déduire que [tex]<u,\varphi > = <u,\chi'> \displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) dt[/tex].
Comment on fait cette déduction? ca ne doit pas etre [tex]<u,\psi>[/tex] à la place de [tex]<u,\varphi>[/tex] par hasard?
merci pour l'aide.
PS: j'ai trouvé cet exercice sur le lien suivant:
http://perso.univ-rennes1.fr/florian.me … 08/td2.pdf
- Fred
- 24-01-2014 15:21:47
[tex]\chi'[/tex] est de classe [tex]C^\infty[/tex] comme dérivée d'une fonction de classe [tex]C^\infty[/tex]
et de plus [tex]\chi'[/tex] est nulle au voisinage de [tex]\pm\infty[/tex] donc est à support compact....
Pour démontrer que [tex]\psi[/tex] est à support compact, soit [tex]A>0 [/tex] tel que
* si [tex]x\leq -A, \varphi(x)=\chi(x)=0[/tex]
* si [tex]x\geq A, \varphi(x)=1[/tex] et [tex]\chi(x)=1[/tex].
Alors le support de [tex]\psi[/tex] est inclus dans [tex] [-A,A] [/tex].
Par exemple, si [tex]x>A[/tex], alors
[tex]\int_{-\infty}^x \varphi(t)dt=\int_{\mathbb R}\varphi(t)dt[/tex] et [tex]\chi(x)=1[/tex]....
Fred.
- dh8
- 24-01-2014 13:39:05
salut
comment montrer que [tex]\chi'[/tex] la dérivée de [tex]\chi[/tex] définie dan mon poste 1 appartient à [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex] je ne trouve déjà pas la dérivée de [tex]chi[/tex]
merci de l'aide
- Roro
- 18-01-2014 18:13:45
Bonjour dh8,
Je ne répond que partiellement mais d'après ce que tu dis je ne vois pas du tout pourquoi [tex]\chi'[/tex] serait à support compact (tu n'as aucune information la dessus).
Roro.
P.S. et que vient faire la fonction u dans le schmilblick ?
- dh8
- 18-01-2014 14:24:50
Salut
soit une distribution [tex]u[/tex] de dérivée nulle, et soit [tex]\chi[/tex] une fonction de classe [tex]C^{\infty}[/tex] qui prend la valeur 0 au voisinage de [tex]-\infty[/tex] et qui vaut 1 au voisinage de [tex]+\infty[/tex].
Pour tout [tex]\varphi \in \mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex], on pose
[tex]\psi(x)=-\displaystyle\int_{-\infty}^x \varphi(t)dt + (\displaystyle\int_{\mathbb{R}} \varphi(t) dt) \chi(x)[/tex]
comment on montre que [tex]\chi '[/tex] et [tex]\psi[/tex] appartiennent à [tex]\mathcal{D}(\mathbb{R})[/tex]?
Elles sont [tex]C^{\infty}[/tex], oui, mais comment prouver qu'elles sont à support compact?
merci par avance.