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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- freddy
- 21-01-2014 06:27:19
Bonjour,
cet exercice m'a renvoyé loin en arrière pour retrouver des résultats depuis longtemps remisés dans un coin de la mémoire ... J'ai poussé plus avant l'idée de Roro, et voilà ce que j'ai obtenu.
[tex]\int x\sqrt{x^2+x}\;dx = \frac14\int(u-1)\sqrt{u^2-1}\;du[/tex] avec [tex]u=2x+1[/tex]
[tex]\int u\sqrt{u^2-1}\;du=\int(u^2-1)\;d\left(\sqrt{u^2-1}\right)=(u^2-1)^{\frac32}-2\int u\sqrt{u^2-1}\;du[/tex] et le résultat tombe comme un fruit mûr.
[tex]\int \sqrt{u^2-1}\;du=\int u\;d\left(\sqrt{u^2-1}\right)-\int\frac{du}{\sqrt{u^2-1}}=u\sqrt{u^2-1}-\int \sqrt{u^2-1}\;du-\arg\operatorname{chu}[/tex] et à nouveau, on se retourne sur soi-même.
Le second changement de variable proposée par Roro conduit (pour moi) à des calculs assez lourds ... mais la première idée est très fructueuse.
Bis bald !
- Dico
- 19-01-2014 19:38:07
Bravo à tous, les gars vous vous êtes bien battus. Mais notre ami Bechir, je ne pense pas qu'il a même vu la solution!?
Dans tous les cas c'est yoshi qui a tout déclenché.
Bon après midi.
- yoshi
- 19-01-2014 19:30:13
Re,
Clap ! Clap !
Donc Roro était dans le vrai (Voir post# 4), bravo à lui aussi...
@+
- totomm
- 19-01-2014 18:08:15
Bonsoir,
Bravo jpp : Excellente et élégante solution
- jpp
- 19-01-2014 16:59:03
salut.
intégrer [tex]\int_0^1{\sqrt{x^4+x^3}.dx}[/tex]
écrit autrement [tex]\int_{0}^{1}{\frac{x}{2}\sqrt{(2x+1)^2-1}.dx}[/tex]
on pose [tex]2x+1 = \cosh{t}[/tex]
alors [tex]x = \frac{\cosh{t}-1}{2}[/tex]
les bornes d'intégration deviennent 0 et [tex] 2.\ln{(\sqrt2+1)}[/tex]
on obtient aussi [tex]dx = \frac{\sinh{t}}{2}.dt[/tex]
la nouvelle intégrale s'écrit:
[tex]\int_0^{2.\ln{(\sqrt2+1)}}{\frac{\cosh{t}-1}{8}.{\sinh^2{t}} . dt}[/tex]
on obtient finalement avec 2 intégrales et en linéarisant la seconde:
[tex]I = \left[\frac{\sinh^3{t}}{24} - \frac{sinh{2t}}{32} + \frac{t}{16}\right]_0^{2.\ln{(\sqrt2+1)}} \approx0.52265065..[/tex]
si je n'ai pas fait d'erreurs à plus
- freddy
- 19-01-2014 13:05:04
Re,
Voilà ce que j'ai, je ne dirai pas comment je l'ai obtenu il y a quelques heures :-)))))
[tex]\int\sqrt{x^4+x^3}\; dx=\frac{\sqrt{x^4+x^3}\left(\sqrt{1+x}\times \sqrt{x}\times (-3+2x+8x^2)+3\times argsinh(\sqrt{x})\right)}{24x^{\frac32}\times \sqrt{1+x}}+ K[/tex]
Sauf erreur, bien sûr (je fais toujours plusieurs choses à la fois ...) !
- totomm
- 19-01-2014 12:01:28
re-bonjour,
Mon résultat : Pour x > 0 [tex] \ln[/tex] est le logarithme népérien
[tex]\int{\sqrt{x^4+x^3}\ dx}=(\frac{x^2}{3}+\frac{x}{12}-\frac{1}{8})\sqrt{x^2+x}+\frac{1}{16}\ln{(2\sqrt{x^2+x}+2x+1)}\ +\ Constante[/tex]
J'expliquerai ultérieurement comment il a été obtenu...
EDIT il a été obtenu à la place de elle et ajout de +Constante
- yoshi
- 19-01-2014 11:31:58
Re,
Je reconnais que "accompagnent" est assez vague, mais la méthode est rigoureuse...
Alors,, je précise ma pensée qui n'avait rien de polémique :
je n'ai moi, jamais entendu, ni lu l'expression utilisée ici :
"Je recherche des polynômes en ax²+bx+c qui accompagnent" et j'espérais avoir une explicitation parce que je ne connaissais pas cette notion...
Mais je laisse les primo intervenants développer leur méthode d'intégration.
Ce n'est pas bien de faire semblant de ne pas comprendre car au post #1, j'écrivais :
Qui veut se charger de mettre notre invité sur la voie ?
Encore une fois, explication de texte : sous-entendu, pas moi (freddy, je ne me prononce pas : pas de procès d'intention !), puisque, post#3, j'écrivais : j'avoue, je sèche pour l'instant.
Et je pense vu la solution donnée par Wolfram, que je n'ai aucune chance de trouver.
Et, allusion pour allusion, je vous invite à aller relire la discussion visée, où le cas présent n'est pas évoqué.
J'ai supprimé le post
1. Parce qu'il parasitait une discussion existante (pôv garçon, il n'a pas su trouver la mention "Nouvelle discussion"). Ce n'est d'ailleurs pas la première intervention parasite d'un invité que je fais disparaître, parce que sinon, je suis conduit à faire des choses "pas propres" (cf point 2)
2. J'ai quand même repris le message, parce que j'ai pensé (à tort apparemment, merci totomm) que la réponse méritait qu'on s'y attarde...
le résultat que j'ai obtenu et que j'ai vérifié par des méthodes numériques (sur ordi) ne m'a pas paru monstrueux
J'ai parlé du résultat donné par Wolfram, pas du vôtre que personne n'a vu...
Réponse entre 0 et 1 - incorrecte - donnée par WxMaxima :
[tex]\frac{3\ln(\sqrt 2 + 1)-3\ln(1-\sqrt 2)+7\times 2^{3/2}}{48}+\frac{\ln(-1)}{16}[/tex]
Mis à part les deux notations qui me font bondir, elle ne paraît pas particulièrement "sympathique"...
@+
- totomm
- 19-01-2014 11:18:13
re bonjour,
@tomtom,
si tu avais eu le temps de lire la première réponse que j'avais faite à la question de Bechir qui tapait l'incruste dans un autre fil, c'est précisément vers toi que je le renvoyais pour avoir une réponse .. Tu vois ce qu'il te reste à faire ?!
Yoshi a fait le ménage, car je ne ménageais pas le trouble fête mais en gros, je lui disais, en te référençant, que nous avions un excellent spécialiste pour répondre à cette très difficile question.
@freddy :
Je n'ai pas vu "l'incruste dans un autre fil", j'ai juste vu dans ce fil post #2 que vous aviez, comme toi (=yoshi) le résultat.
"excellent spécialiste" ne m'impressionne pas, je l'ai déjà entendu dans d'autres domaines, et même le contraire. Mais merci quand même. Ce qui m'ennuie c'est que ce qualificatif ait été mêlé à des propos "qui ne ménageaient pas" le "trouble-fête" car j'ai du mal à accepter que l'on rabroue qui que ce soit.
Et je ne sais jamais en plus si vous visez tomtom, totomn ou celui qui signe totomm et ce que signifie, au-delà de l'interprétation au premier degré :"Tu vois ce qu'il te reste à faire ?!"
@yoshi : pour 0,1,2,3,4 ma formule redonne les mêmes valeurs que celle que vous citez venant de Wolfram, et j'en sui réconforté.
Ma formule ne contient pas de fonction hyperbolique, et je n'ai pas cherché à convertir l'une dans l'autre...
- freddy
- 19-01-2014 09:57:00
@tomtom,
si tu avais eu le temps de lire la première réponse que j'avais faite à la question de Bechir qui tapait l'incruste dans un autre fil, c'est précisément vers toi que je le renvoyais pour avoir une réponse .. Tu vois ce qu'il te reste à faire ?!
Yoshi a fait le ménage, car je ne ménageais pas le trouble fête mais en gros, je lui disais, en te référençant, que nous avions un excellent spécialiste pour répondre à cette très difficile question.
- totomm
- 19-01-2014 09:41:51
Bonjour,
Je reconnais que "accompagnent" est assez vague, mais la méthode est rigoureuse...
le résultat que j'ai obtenu et que j'ai vérifié par des méthodes numériques (sur ordi) ne m'a pas paru monstrueux
La méthode suivie implique que l'on calcule aussi [tex]\int {\frac{dx}{\sqrt{x^2+x}}}[/tex]
Mais je laisse les primo intervenants développer leur méthode d'intégration.
A+ : totomm
- freddy
- 19-01-2014 09:11:50
Salut,
dans l'histoire, il est passé où, l'ami Bechir ?
- yoshi
- 19-01-2014 08:49:30
Bonjour,
Je recherche des polynômes en ax²+bx+c qui accompagnent ...
accompagnent ? ça veut dire quoi ??
La réponse donnée par Wolfram est un monstre pour reprendre l'expression de freddy :;
[tex]\frac{3x^{3/2}\sqrt{x+1}\;ArcSinh(\sqrt x)+x^2(8x^3+10x^2-x-3)}{24\sqrt{x^3(x+1)}}[/tex]
@+
- totomm
- 18-01-2014 21:42:38
Bonsoir,
J'ai une méthode (ancienne) qui date des années Math sup/spé. C'est vraiment un tour de passe-passe mais qui conduit à une solution
Je recherche des polynômes en ax²+bx+c qui accompagnent [tex] \sqrt{x^2+x}[/tex] et / ou [tex]\frac{1}{\sqrt{x^2+x}}[/tex] et je dérive au lieu d'avoir à intégrer.
A+
- Roro
- 18-01-2014 18:46:06
Bonsoir,
Une piste (je n'ai fait aucun calcul... donc je ne sais pas du tout si ça marche) :
écrire [tex]\sqrt{x^4+x^3} = x\sqrt{(x+1/2)^2-1/4}[/tex] puis faire un changement de variable [tex]y=x+1/2[/tex]. On doit obtenir la somme de deux intégrales et poser [tex]z=y^2[/tex] dans l'une des deux...
Roro.