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Charmander · 24-10-2013 19:30:20

Bonjour,

Alors, le but de l'exercice est justement de montrer le résultat sans facteur [tex]\frac{1}{2}[/tex] à l'aide de ce qu'on obtient ici.
L'intitulé exact était de déterminer la parité de [tex]b_n[/tex] dans la fraction[tex] \frac{a_n}{b_n}[/tex] irréductible de [tex]S_n[/tex], à l'aide de l'expression [tex]S_n - \frac{1}{2} S_{E(\frac{n}{2})}[/tex] avec E la fonction partie entière... Comme j'avais avancé dans la résolution j'ai juste publié ce qui me bloquait

Fred · 24-10-2013 19:03:21

Salut,

C'est bizarre ce facteur 1/2, car le résultat reste vrai même si on l'enlève. Voici la preuve : l'idée est d'isoler l'entier avec la plus grande puissance de 2.
Précisément, considérons un entier [tex]n[/tex] et [tex]p[/tex] l'unique entier tel que [tex]2^p\leq n<2^{p+1}[/tex]. Alors, tout entier
[tex]k\leq n[/tex], différent de [tex]2^p[/tex], s'écrit [tex]k=2^u v[/tex] avec [tex]v[/tex] impair et [tex]u\leq p-1[/tex].

Ainsi,
[tex]\sum_{k=1}^n \frac 1k=\frac {1}{2^p}+\sum_{k\leq n,\ k\neq 2^p}\frac 1k=\frac {1}{2^p}+\frac{N}{2^{p-1}q}[/tex] où [tex]q[/tex] est impair.
Ainsi,

[tex]\sum_{k=1}^n \frac 1k=\frac{q+2N}{2^p q}[/tex] et le numérateur est impair quand le dénominateur est pair....

Je suis preneur s'il y a une solution plus simple quand on a divisé le tout par 1/2.

Fred.

Charmander · 24-10-2013 18:17:44

Bonjour,

Soit la somme [tex]S_{n}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}[/tex]
On pose [tex]\frac{a_{n}}{b_n}[/tex] l'écriture sous forme irréductible de [tex]\frac{1}{2} S_{n}[/tex]
Je voudrais montrer que pour tout [tex]n\geq2[/tex] , [tex]b_n[/tex] est pair.

Ca fait un bout de temps que je bloque sur cet exercice, qui est un préliminaire à un problème de 2 pages... Je suis vraiment désespérée ! Quelqu'un aurait une idée ? Merci d'avance ! :)

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