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En résumé, pour montrer que [tex]f(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R}^2[/tex] il suffit de montrer que chaque couple (u,v) a un antécédent par f. (Pas besoin de l'unicité).
Mais quand est-ce qu'on a besoin de l'unicité?

Alors je ne comprend plus pourquoi vous avez dis: Tout le reste ensuite vient de la première question. Puisque tu as démontré que c'est un difféomorphisme de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] sur [tex]f(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R}^2[/tex] , en particulier, f est bijective.

J'ai compris jusqu'au point où on conclut que pour tout (u,v), il existe (x,y) tel que (u,v)=f(x,y). Après, c'est quoi la conclusion ?

Voici comment j'ai montré que [tex]f[/tex] est un difféomorphisme de [tex]\mathbb{R^2}[/tex] dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex]: on utilise le théorème d'inversion globale, ce qui revient à montrer que f est injective et que la Jacobienne de f ne s'annulle jamais.
1- injectivité de f: soient (x,y) et (x',y') dans [tex]\mathbb{R}^2[/tex]. On suppose que f(x,y)=f(x',y') et on montre que (x,y)=(x',y').
f(x,y)=f(x',y') ssi [tex]x+a \sin x = x' + b \sin x'[/tex] et [tex]y+b \sin x = y' + b \sin x'[/tex]. On a [tex]|x-x'|=a|\sin y' - \sin y| \leq a |y'-y|[/tex] et [tex]|y-y'| = b |\sin x' - \sin x| \leq b |x'-x|[/tex]
on conclut que [tex]|y-y'|\leq ab|y-y'|[/tex] et [tex]|x-x'|\leq ab |x-x'|[/tex] et puisque [tex]ab < 1[/tex] alors [tex]|x-x'|=0[/tex] et [tex]|y-y'|=0[/tex]. Donc [tex](x,y)=(x',y')[/tex]. D'où l'injectivité de f.
Aussi, [tex]J(f)= 1 - ab \cos x \cos y \neq 0[/tex]. Donc par le th d'inversion globale, on conclut que f est un difféomorphisme.

2- Montrer que [tex]f(\mathbb{R}^2)=\mathbb{R}^2[/tex]. Pour ca, il faut et il suffit de montrer que f est bijective.
Pour montrer la surjectivité de f, on utilise la fonction g comme vous l'avez indiqué.
pour l'injectivité, puisque f est un difféomorphisme de [tex]\mathbb{R}^2[/tex] dans [tex]f(\mathbb{R}^2[/tex], alors f est injective. Donc f est bijective, d'où l'égalité.
C'est la bonne rédaction? ( malgès que je comprend pas pourquoi on a besoin que f soit un difféomorphisme puisque l"injectivité suffit)

Dans surjective, il n'y a pas l'unicité.

Et tu as déjà démontré à la première question que [tex]f[/tex] est un difféomorphisme de [tex]\mathbb R^2[/tex] sur son image. Donc que [tex]f[/tex] est injective!!!!

Si tu relis bien mon premier post, puisque [tex]g(x)=v[/tex] a toujours une solution, en posant ensuite [tex]y=v-b\sin x[/tex], l'équation
[tex]f(x,y)=(u,v)[/tex] admet toujours une solution, donc [tex]f(\mathbb R^2)=\mathbb R^2[/tex].

Tout le reste ensuite vient de la première question. Puisque tu as démontré que c'est un difféomorphisme de [tex]\mathbb R^2[/tex]
sur [tex]f(\mathbb R^2)=\mathbb R^2[/tex], en particulier, [tex]f[/tex] est bijective.

F.

[tex]g[/tex] est continue et strictement croissante donc, d'après le calcul des limites, réalise une bijection de [tex]\mathbb R[/tex] sur [tex]\mathbb R[/tex]!!!!!
C'est un théorème de Terminale!!!!

Franchement, je ne connait pas ce théorème. Comment s'appelle ce théorème s'il te plait? (donc on n'a pas besoin du point fixe!)