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Bonsoir,

On peut aussi calculer uniquement dans [tex]\mathbb{N} [/tex] en utilisant directement la division euclidienne après avoir remarqué, pour l'intégration [tex] I [/tex]  cherchée, que :
[tex] I\times AB\ =\ \sum_{i=1}^{AB-1}{E((i/A) \times  E(i/B)}  [/tex]
en notant [tex] E(i/A) [/tex] la partie entière de la division de [tex]  i\ par\ A [/tex]
(C'est la tentative de ymagnyma au post #6)

posant [tex] E(i/A)\ = \ \frac{i-(i \mod A)}{A}  [/tex]
Alors [tex] I\times A^2B^2\ =\ \sum_{i=1}^{AB-1}{ (i-(i \mod A)) \times  (i –(i \mod B))}  [/tex]
[tex] =\ \sum_{i=1}^{AB-1}{[i^2- i(  i \mod A)- i(  i \mod B) + (  i \mod A)*(  i \mod B) ] }  [/tex]

[tex]  I\times A^2B^2\ =\ S1-S2-S3+S4 [/tex] avec :

[tex] S1 =\ \sum_{i=1}^{AB-1}{i^2}=  \frac{(AB-1)AB(2AB-1)}{6}[/tex]
[tex] S2 =\ \sum_{i=1}^{AB-1} {i(  i \mod A)} =\ \sum_{i=1}^{A-1}{i\sum_{j=0}^{B-1}{i+jA} }\ =\ \frac{AB(A-1)(3AB+A-2)}{12} [/tex]
[tex] S3 =\ \sum_{i=1}^{AB-1} {i(  i \mod B)} =\ \sum_{i=1}^{B-1}{i\sum_{j=0}^{A-1}{i+jB} }\ =\ \frac{AB(B-1)(3AB+B-2)}{12} [/tex]
[tex] S4 =\ \sum_{i=1}^{AB-1} {(  i \mod A)*(  i \mod B)}\ =\ \frac{AB(A-1)(B-1)}{4}   [/tex] (parce que A et B premiers entre eux)

Il reste à sommer (attention au signe MOINS pour S2 etS3) et on retrouve bien :

[tex] I\times 12AB\ =\ 4A^2B^2-3A^2B-3AB^2+3AB-A^2-B^2+1\ =\ (A-1)(B-1)(4AB+A+B+1)[/tex]

re
c'est élégant!
@+

@ yoshi :
Cher ami, je disais cela dans une bonne intention : Eviter de passer du temps à un travail ingrat, demandant soin et attention !
Ceci dit, j'admire ce genre de bénévolat.

@ yamaghyma :
je ne prétends pas que ce soit la seule méthode. Peut-être que quelqu'un aura une idée plus simple.

... Je n'aurais pas trouvé, je ne connaissais même pas ce développement pour la partie entière.
     C'est effroyablement beau.
                                               ...

RE

Si par attacher à ton post, tu entends joindre une image dans ton post, si, bien sûr, tu peux le faire...
C'est ça ?
Si oui,
1. Scanner l'image,
2. Veiller à ce qu'elle ne soit pas trop lourde (<100 ko serait bien) et à sa dimension.
3. Déposer l'image sur casimages.com, hiboox, imageshack.us par exemple,
4. Relever l'adresse correspondant à pour un forum ou "direct link to image" ou...
5. Dans ton message tu relèves l'adresse entre les 2 balises [img ] et [/img ] (sans les espaces avant les crochets fermants), balises incluses...
6. Exemples :
Avec casimages : [img ]http://nsa33.casimages.com/img/2013/09/ … 999012.jpg[/img ]
pour voir ce que ça donne sans les espaces dans les crochets aller à http://www.bibmath.net/forums/edit.php?id=41969 post #4
Avec imageshack.us :
[img ]http://img69.imageshack.us/img69/5489/lk83.png[/img ]
pour voir ce que ça donne sans les espaces dans les crochets aller à http://www.bibmath.net/forums/edit.php?id=9803

Donc, mets ton image en ligne, je transcrirai en LaTeX puis intégrerai le code dans ton post...
Ça te va ?

@+
.

salut
c'est vraiment pas de la tarte cet intégral, peut être qu'il requiert l'usage de méthodes pas "très élémentaires", j’espère que Fred nous dira ce qu'il en pense. ( juste pour épargner à quelques-uns une bataille perdue d'avance ^^)
PS: concernant la notation, j'ai adopté l'explication fournie par Roro au poste 5.
@+

Bonsoir,

Il me semble que les notations sont les suivantes : A et B sont deux nombres entiers (avec pgcd(A,B)=1), et que [x] correspond à la partie entière du réel x. L'auteur a aussi sans doute confondu x et X qui sont les mêmes...

Ceci étant dit, je ne sais pas comment répondre à la question... mais ça ne semble pas impossible ! (peut être à l'aide de changement de variable pour se ramener à des calculs d'intégrale de [x] et non pas de [Ax]...)

Roro.