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Bonsoir,

Je suis désolé pour les erreurs :

La première au niveau de l'expression de P : [tex]P\,=\,\sum^{K}_{k=1}{X}_{k}.[/tex]
La seconde au niveau de l'intégrale : [tex]\int^{+\infty}_{0}{f}_{P/A}\left(p\right)dp\, = 1[/tex]

Dans la 2ème question, il est demandé de calculer la transformée en s du poids total des boites contenues dans une caisse. Ce dernier est désigné par Z et il dépend du poids total des boites contenues dans un carton : P

J'ai commencé par calculer la transformée en s de P qui dépend de celle de X puis j'ai calculé celle de Z.

Mes salutations

Bonjour,

Ci-joint la résolution de l'exercice qui semble être correcte :

1) Calcul de la distribution conditionnelle du poids total des boîtes dans un carton, sachant que ce carton contient moins de deux boites.

Soit P la variable aléatoire continue qui désigne le poids total des boites dans un carton donné. [tex]P\,=\,\sum^{k}_{i=1}{X}_{i}[/tex].

On désigne par A l’événement K=0 ou K=1, [tex]P\left(A\right)={e}^{-\mu}\left(1+\mu \right)[/tex]

Donc [tex]{f}_{P/A}\left(p\right)=\frac{{f}_{P,K}\left(p,k\right)}{P\left(A\right)}[/tex], avec k=0 ou k=1

Il s'ensuit que [tex]{f}_{P/A}\left(p\right)= \frac{{f}_{P,K}\left(p,0\right)+{f}_{P,K}\left(p,1\right)}{P\left(A\right)}[/tex]

Si K= 0 alors P = 0 et c'est une seule et unique valeur donc [tex]{f}_{P,K}\left(p,0\right)=1\,[/tex]

Si K=1 alors P = X et donc [tex]{f}_{P/K=1}\left(p\right)=\lambda{e}^{-\lambda p}[/tex], avec [tex]p\,\geq \,0[/tex]

De  plus  [tex]{f}_{P,K}\left(p,k\right)={f}_{P/K=k}\left(p\right)P\left(K=k\right)[/tex]

Donc [tex]{f}_{P/A}\left(p\right)=\frac{P\left(K=0\right)+P\left(K=1\right){f}_{P/K=1}\left(p\right)}{P\left(A\right)}=\frac{{e}^{-\mu }+\lambda {e}^{-\lambda p}\mu {e}^{-\mu}}{{e}^{-\mu }+\mu {e}^{-\mu }}[/tex]

Pour cette expression de la distribution conditionnelle, si on veut vérifier que [tex]\int^{1}_{0}{f}_{P/A}\left(p\right)dp=1[/tex], on applique l’intégrale que pour le second terme de la distribution conditionnelle car le premier terme concerne le cas où P(K=0) et dans ce cas P ne prend que la valeur 0.

2) Calcul de la transformée en s de la distribution pour le poids total des boites dans une caisse.

Soit Z la variable aléatoire qui désigne le poids total des boite dans une caisse.

On a [tex]Z=\sum^{N}_{n=1}{P}_{n}[/tex]    et    [tex]P\,=\,\sum^{K}_{k=1}{X}_{k}[/tex].

La transformée en s de P est donnée par l'expression : [tex]{f}^{T}_{P}\left(s\right)=\sum^{\infty}_{k=0}P\left(K=k\right){\left[{f}^{T}_{X}\left(s\right)\right]}^{k}[/tex] car les [tex]{X}_{k}[/tex] sont indépendants.

Or [tex]{f}^{T}_{X}\left(s\right)=\frac{\lambda}{\lambda+s}[/tex]
Donc [tex]{f}^{T}_{P}\left(s\right)=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{{\mu}^{k}}{k!}{e}^{-\mu}{\left[\frac{\lambda}{\lambda+s}\right]}^{k}={e}^{-\mu}{e}^{\frac{\mu\lambda}{\lambda+s}}[/tex]
On a [tex]Z\,=\,\sum^{N}_{n=1}{P}_{n}[/tex], les [tex]{P}_{n}[/tex] sont indépendants ( poids des boites dans les cartons) alors    : [tex]{f}^{T}_{Z}\left(s\right)=\sum^{\infty}_{n=1}P\left(N=n\right){\left[{f}^{T}_{P}\left(s\right)\right]}^{n}[/tex]
[tex]{f}^{T}_{Z}\left(s\right)=\sum^{\infty}_{n=1}{p}^{n-1}\left(1-p\right){\left[{e}^{-\mu }{e}^{\frac{\mu \lambda }{\lambda +s}}\right]}^{n}[/tex] 
[tex]{f}^{T}_{Z}\left(s\right)=\left(1-p\right)\alpha\sum^{\infty}_{n=1}{\left(p\alpha \right)}^{n-1}=\alpha\left(1-p\right)\frac{1}{1-p\alpha}[/tex]   avec    [tex]\alpha={e}^{-\mu}e^{\frac{\lambda\mu}{\lambda+s}}[/tex]

Merci de bien vouloir donner votre avis.

Bonjours,

Une réponse est toujours la bienvenue.

Bonjour;

Merci de bien vouloir m'aider dans la résolution de cet exercice.

Des boîtes sont rangées dans des cartons, eux mêmes rangés dans des caisses. Le poids en grammes d'une boîte est une variable aléatoire continue, de distribution [tex] {f}_{X}\left(x\right)\,=\,\lambda {e}^{-\lambda x}[/tex], avec   [tex] x\geq 0[/tex].

Le nombre de boîtes dans chaque carton, K est une variable aléatoire avec la distribution :
[tex] {p}_{K}\left(k\right)\,=\,\frac{{\mu}^{k}{e}^{-\mu}}{k!}[/tex], pour k = 0, 1, 2, ...

Le nombre de cartons dans chaque caisse, N est une variable aléatoire avec la distribution :
[tex] {p}_{N}\left(n\right)\,=\,{p}^{n-1}\left(1-p\right)[/tex], pour n = 1, 2, 3, ...

Les variables X, K et N sont mutuellement indépendantes. Déterminer :

1) la distribution conditionnelle pour le poids total des boîtes dans un carton, sachant que le carton contient moins de deux boites,

2) la transformée en s de la distribution pour le poids total des boîtes dans une caisse.