Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Re,

Mais non, M. Groupoid Kid ne t'a pas lâché, et oui il va bien (merci pour lui), en revanche on ne peut pas en dire autant de son routeur ADSL qui a succombé lors d'un orage d'été nocturne.
Merci à toi Yoshi pour la piqûre de rappel, les jeunes de nos jours c'est himèle-portab'-nain ternet-hopopop, il leur faut tout tout de suite sinon c'est la révolution. Tsss. J'aurais bien voulu les voir du temps de Newton et Berkeley, à attendre plusieurs semaines avant d'avoir une réponse aux lettres. (Postales. Et transportées à cheval, s'il vous plaît.)

Pour ce qui est de la dérivation, quand on a [tex]\frac{d\{bidule\}}{dx}[/tex], ça signifie qu'on dérive par rapport à la variable [tex]x[/tex]. Que [tex]x[/tex] puisse être par ailleurs une fonction dépendant du temps, de la position de Mercure ou du coefficient de marée, on s'en moque comme d'un radiateur en pleine canicule : on dérive par rapport à la variable [tex]x[/tex], c'est-à-dire ici la première variable de la fonction [tex]V[/tex]. En principe, on devrait même noter [tex]\partial_xV=\partial_1V[/tex] comme je l'ai fait plus haut, pour bien montrer que [tex]x[/tex] n'a rien à voir là-dedans mais ce serait assez vite le foin.

Pour ce qui est des points critiques, c'est presque bon, la dérivée de [tex]\cos[/tex] c'est [tex]-\sin[/tex], pas [tex]\sin[/tex]. On va toutefois garder précisément cette description :
"Ce sont tous les [tex](x,0)[/tex], où [tex]x[/tex] est une solution de [tex]ax-L+\sin x =0[/tex]."
Bien qu'on ne connaisse pas la valeur numérique de ces solutions (et quand bien même, ça nous ferait une belle jambe), ceci décrit parfaitement l'ensemble des points critiques (finitude, borne, etc), et surtout on retrouve exactement l'ensemble des points fixes du système qu'on avait identifiés précédemment. Donc [tex]Crit(V)=\mathrm{Fix}(X)(=\Omega(X))[/tex] est fini, et tu n'imagines pas à quel point ça peut simplifier la vie. (Raoul, si tu nous entends de là-haut, c'est pas contre toi.)

Tu as établi aussi que V était une fonction de Lyapunov (au sens large), pourrais-tu me rappeler ce que ça signifie ? Et surtout m'en déduire que V est décroissante (dans un premier temps, strictement ensuite) sur les orbites, c'est-à-dire que si [tex]x(t)[/tex] est une solution de l'ED, alors [tex]V(x(t),\dot{x}(t))[/tex] est décroissante (strictement si [tex]x(t)[/tex] n'est pas une constante).

Je m'excuse par avance des délais de mes prochaines réponses, j'ignore quand j'aurai une ligne ADSL (ou même DSL) fonctionnelle.

Sur ce bonne nuit :)

GK

Bonsoir,

Hmmm... Voilà un jugement bien cavalier.
Il est bénévole comme nous tous et a une vie personnelle en dehors de BibMath, assortie d'autres obligations !
Tu prends le risque de l'indisposer et de le voir -réellement cette fois - te... lâcher !
Il serait peut-être bon de tempérer un peu cette affirmation péremptoire ! Non ?  ;-)

@+

      Yoshi
- Modérateur -

C'est bon ?
pour la deuxième aucune idée pour le moment , pour tout vous dire c'est la premiére fois que je vois des questions comme ça !

Merci

Re,

Origine de la bizarritude identifiée xD De deux choses l'une :
- soit tu utilises le fait que dans le contexte les variables d'espace sont asservies au temps, et tu dérives par rapport au temps i.e. [tex]\partial_t\{V(x(t),\dot{x}(t))\}[/tex], auquel cas ce que tu calcules s'appelle la dérivée de Lie de [tex]V[/tex] dans la direction du champ de vecteur [tex]F(x,y)=(y, L-\alpha y-ax-sin(x))[/tex] (et qu'on note en général [tex]\dot{V}[/tex] dans les ED -- bien que [tex]V[/tex] ne dépende pas du temps),
- soit tu dérives par rapport aux variables d'espace [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex], et parler de [tex]\dot{x}[/tex] ou [tex]\dot{y}[/tex] n'a aucun sens, ce sont des variables réelles, pas des fonctions !
Là je ne sais pas trop ce que tu as calculé, c'est quelque chose entre les deux.

Vu la façon dont est posé l'exercice où tout est mélangé, ce n'est pas vraiment de ta faute. Tu n'as peut-être pas l'habitude de bien faire la distinction variables réelles / solutions, c'est un avantage quand on veut faire de la pratique, mais un inconvénient pour la théorie. L'idéal est d'être capable des deux.

Reprenons. Je vais supprimer [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] pour éviter les ambiguïtés. On cherche les points où la fonction [tex]V:(p,q)\mapsto\frac{1}{2}q^2+\frac{a}{2}p^2-Lp-\cos p[/tex] a une différentielle nulle. Comment je sais que celà entraîne [tex]q=0[/tex] ? Eh bien on a déjà calculé [tex]DV_{(p,q)}\cdot F(p,q)[/tex] en tout point [tex](p,q)[/tex]. En effet pour toute solution [tex]\sigma[/tex] de l'ED :
[tex]\begin{eqnarray*}\partial_t\{V(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\}
&=&(\partial_1V)(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\cdot\dot{\sigma}(t)+(\partial_2V)(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\cdot\ddot{\sigma}(t)\\
&=&(\partial_1V)(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\cdot F^1(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))+(\partial_2V)(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\cdot F^2(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\\
&=&DV_{(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))}\cdot F(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\end{eqnarray*}[/tex]
Si on prend la solution [tex]\sigma[/tex] telle que [tex](\sigma(0),\dot{\sigma}(0))=(p,q)[/tex], on obtient pour [tex]t=0[/tex] que [tex]\dot{V}(p,q)=DV_{(p,q)}\cdot F(p,q)=\partial_t\{V(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\}|_{t=0}[/tex]. OR, on a déjà calculé que [tex]\partial_t\{V(\sigma(t),\dot{\sigma}(t))\}=-\alpha\dot{\sigma}(t)^2[/tex], ceci implique donc que [tex]DV_{(p,q)}\cdot F(p,q)=-\alpha q^2\neq 0[/tex] dès que [tex]q\neq 0[/tex]. Et si [tex]DV\cdot F[/tex] n'est pas nul, [tex]DV[/tex] ne peut pas être nul.

Version rapide maintenant : on a vu que [tex]\dot{V}=-\alpha y^2[/tex], or [tex]\dot{V}=DV\cdot F[/tex], donc si [tex]y\neq 0[/tex], [tex]DV[/tex] ne peut pas être nulle ! ...

GK

(O_o?)
Bizarre, d'après ce que tu as dit dans ton tout premier message, tout point critique de V doit nécessairement vérifier y=0 (car la dérivée dans la direction du champ de vecteur vaut [tex]-\alpha y^2[/tex]). Comment trouves-tu ceci ?

GK

Pas mal, au signe près c'est ça : [tex]B=\frac{|L|+1}{a}[/tex]. (Si [tex]L<0[/tex], [tex]\left|\frac{L-1}{a}\right|>\left|\frac{L+1}{a}\right|[/tex].) On peut le voir graphiquement aussi, le graphe de [tex]\sin[/tex] étant compris entre les droites [tex]y=1[/tex] et [tex]y=-1[/tex] il n'y a que quelques intersections de droites à considérer... mais l'argument analytique est plus synthétique, bien vu :)

Et maintenant, quid des points critiques de [tex]V[/tex] ?

GK

Bien sûr que ça dépend des données ! Mais ne peux-tu pas trouver un borne [tex]B[/tex] s'exprimant simplement en fonction des données telle que tous les points d'intersection soient compris dans l'intervalle [tex][-B,B][/tex] ? À vrai dire sans donner cette borne je serai bien incapable de démontrer avec tous les détails que le nombre de points d'intersections est fini : avec un peu d'analyse on montre facilement que les intersections sont isolées, si on ajoute bornées ça implique nombre fini :)

GK

Huhuhu ^^

Mé non. Il faut la résoudre graphiquement : [tex]\sin(x)=L-ax[/tex]. On n'a pas besoin de connaître précisément les points fixes, seulement de savoir majorer leur distance à l'origine (et de savoir qu'il n'y en a qu'un nombre fini). Et ça ça peut se faire à partir de courbes ;)