Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour , merci @Groupoid Kid
j'avais des examens c'est pour ça que je n'ai pas répondu , mais merci beaucoup pour la réponse c'est très gentil de votre part , la je suis entrain de chercher un livre ou je peux trouver plus d'info sur[tex] \liminf[/tex] et [tex]\limsup[/tex] ,j'ai du mal avec la définition en utilisant [tex]\varepsilon[/tex] , je ne la connais pas !

Eh bien il faudrait déjà commencer par là. Travailler avec des objets qu'on ne maîtrise pas c'est forcément voué à l'échec !

Wikipédia est une bonne aide ponctuelle quand on a besoin d'une définition ou d'un aide-mémoire. Là c'est un cours de topologie ou d'analyse réelle qu'il te faut.

Pour faire simple, si [tex](u_k)[/tex] est une suite réelle, les suites [tex]i_k=\inf_{p\geqslant k}(u_p)[/tex] et [tex]s_k=\sup_{p\geqslant k}(u_p)[/tex] fournissent des encadrements de plus en plus précis des [tex]\{u_p|p\geqslant k\}[/tex]. En passant à la limite, on obtient une sorte d'encadrement asymptotique de [tex]u[/tex]. Une des premières propriétés que l'on apprend c'est donc que :
[tex]\forall\epsilon>0, \exists K, \forall k>K : I-\epsilon<u_k<S+\epsilon[/tex]
où [tex]I=\lim (i_k)[/tex] et [tex]S=\lim (s_k)[/tex]. En clair, [tex](u_k)[/tex] peut dépasser de l'encadrement fourni par [tex]I[/tex] et [tex]S[/tex], mais de moins en moins à mesure que [tex]k\to\infty[/tex]. Remarque que si [tex]S=I=L[/tex], on retombe sur la définition de la limite de [tex]u[/tex].
Ici tu as une fonction de la variable réelle [tex]x[/tex] au lieu d'une suite, mais le principe reste essentiellement le même. Si ça te paraît obscur, j'insiste, prends un cours de topo/analyse réelle. Ce sont des notions fines qu'il faut manipuler suffisamment pour les assimiler.

Non. C'est un max, pas un min !

Il n'y a pas de [tex]x[/tex], c'est dans ta tête. En vérité, tout ce que tu as c'est la fonction [tex]f[/tex], et son max sur un certain compact : [tex]\max_{[0,2\pi]\times[-a,a]}f[/tex]. On l'écrit avec un [tex](t,x)[/tex] seulement parce que c'est plus commode*. Le truc c'est que si ce max est valide pour [tex]x\in[-a,a],t\forall[/tex], il sera a fortiori valide pour [tex]f(t,x_n(t))[/tex] lorsque [tex]x_n(t)\in[-a,a][/tex].

*Au passage, si ce genre de chose te déstabilise, je te signale que [tex]\|f(t,x_n)\|_{L^2}[/tex] est aussi un abus d'écriture, il faut écrire soit [tex]\|f(t,x_n(t))\|_{L^2}[/tex] (abusif mais courant) soit [tex]\|f(\cdot,x_n)\|_{L^2}[/tex] (fonction sans variable, rigoureux mais peu usité). De la même façon que l'on écrit [tex]\int_0^{2\pi} f(t,x_n(t))^2 dt=\int_{[0,2\pi]} f(\cdot,x_n)d\mu[/tex].

Allez, à toi de jouer : écris-moi ce que tu peux déduire de tes inégalités de départ, en prenant par exemple [tex]\epsilon=1[/tex].

GK

Je doit trouver que :
[tex]\displaystyle || f(t,x_n)||_{L^2}^2 =\int_0^{2\pi} f(t,x_n)^2 dt \leq   (k+1)^4\int_0^{2\pi} |x_n|^2 dt[/tex]
et
[tex]\displaystyle || f(t,x_n)||_{L^2}^2 =\int_0^{2\pi} f(t,x_n)^2 dt \leq   2\pi \sup_{(t,x)\in[0,2\pi]\times[-a,a]}|f(t,x)|[/tex]

la chose que je ne comprend pas c'est pourquoi au début on a x_n puis on se retrouve avec x ?

Merci.

Ouii je l'ai remarqué ! j'applique ça :
[tex]\limsup (u_n)=\inf (\sup_{k\geq n} u_k) ,\liminf (u_n)=\sup (\inf_{k\geq n} u_k)[/tex]
???
Merci.

Bonjour,

Je reviens sur cette question , j'ai posé la question a un prof et il ma donné une idée :
donc le but est de montrer que [tex]f_1(t,x_n)=\frac{f(t,x_n)-k^2 x_n}{||x_n||}[/tex] est bornée dans [tex]L^2([0,2\pi])[/tex]

on a [tex]\frac{||f_1(t,x_n)||_{L^2}}{||x_n||} \leq\frac{|| f(t,x_n)||_{L^2}}{||x_n||}+ k^2\frac{ ||x_n||_{L^2}}{||x_n||}\leq \frac{|| f(t,x_n)||_{L^2}}{||x_n||}-k^2[/tex]
car [tex]||x_n||_{L^2}\leq ||x_n||[/tex].

Mais après il m'a dit de faire ça :

[tex]|| f(t,x_n)||_{L^2}^2 =\int_0^{2\pi} f(t,x_n)^2 dt \leq  \max\lbrace (k+1)^4\int_0^{2\pi} |x_n|^2 dt , 2\pi M\rbrace[/tex]
tel que [tex]M=\sup_{(t,x)\in [0,2\pi]\times[-a,a]}|f(t,x)|[/tex].

sur le coup j'ai compris l'histoire du max ,mais maintenant je ne comprend plus rien , quelqu'un a une idée ,?

Merci.

Bonjour,

Tâche d'être un peu ordonnée, s'il te plaît. Ta question n'apparaît pas dans ce texte, et de plus il manque la moitié des définitions. Je veux bien t'aider, mais sans question ni définitions claires c'est assez pénible.

S'agit-il de la valeur absolue cette fois ? Ou bien d'une norme de fonctions, ou d'une norme de suite (de fonctions) ?

Je réponds tout de même à ceci :

L'expression [tex]\limsup_{|x|\rightarrow \infty}\frac{f(t,x)}{x}[/tex] ne fait intervenir que deux lettres : [tex]f[/tex] et [tex]t[/tex]. La variable [tex]x[/tex] est muette, à part une autre lettre muette tu ne peux donc pas lui substituer quoi que ce soit¹. La seule chose que tu pourrais faire, c'est utiliser un théorème de compositions de limites. Ici [tex]x[/tex] est un réel, et les [tex]x_n[/tex] des fonctions réelles, on peut donc éventuellement composer mais seulement point par point. Sauf qu'ici tu n'as pas d'information² sur la valeur ponctuelle des fonctions [tex]x_n[/tex], tu ne peux donc rien en déduire sur la limite.

Remarques :
¹ En étant extrêmement pervers, on a le droit de considérer localement [tex]x_n[/tex] comme une variable muette au même titre qu'un [tex]y[/tex] ou un [tex]z[/tex], tant qu'on garde en tête que cette variable abstraite n'a rien à voir avec les fonctions [tex]x_n[/tex].
² Ce n'est pas tout à fait vrai, on peut faire des trucs à la sauce Bienaymé-Chebyshev.

Et enfin une piste : as-tu pensé à écrire ce que fournissent les définitions de limite sup et limite inf ?

GK

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