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freddy · 05-05-2013 20:21:56

Salut,

en furetant un peu, on trouve quelques outils pour résoudre ce joli sujet. Bien entendu, ce sont de beaux outils à la disposition de brillants esprits. Je ne fais que les porter à la connaissance de la noble assemblée de ce site.

Par exemple, pour a, b et n entiers non nuls, on a [tex]a^n-b^n=(a-b)\times \sum_{k=1}^n a^{n-k}b^{k-1}[/tex]

Et si n est impair, en posant [tex]b = -b[/tex], on voit que [tex]a^n+b^n=(a+b)\times \sum_{k=1}^n a^{n-k}(-b)^{k-1}[/tex]

En particulier, en posant [tex]b= 1\, \text{ou}\, b=-1[/tex], on voit que [tex](a-1)[/tex] ou [tex](a+1)[/tex] divise respectivement le premier ou le second nombre.

Derniers éléments, et non des moindres :

pour n et m entiers quelconques, [tex](a^n-1) \land (a^m-1)=a^{n\land m}-1[/tex]

pour n et m entiers impairs quelconques, [tex](a^n+1) \land (a^m+1)=a^{n\land m}+1[/tex]

Nota : [tex]PGCD(a,b)=a\land b[/tex]

Tout ceci devrait permettre à jpp de répondre à la question de yassine :-)

Yassine · 23-04-2013 20:32:29

jpp a écrit :

salut.
pour le cas (3)
[tex]5^{2015}-1[/tex] est divisible par 4 puisque :[tex]5^{2015}-1 = \left(5^{2014}+5^{2013}+5^{2012}+...+5^2+5+1\right)\times {(5-1)}[/tex] .
donc divisible aussi par 2 , et par 2 fois le premier membre.

ça ne fait que deux diviseurs, il en faut un troisième.

jpp · 23-04-2013 19:19:00

salut.

pour le cas (3)

[tex]5^{2015}-1[/tex] est divisible par 4 puisque :[tex]5^{2015}-1 = \left(5^{2014}+5^{2013}+5^{2012}+...+5^2+5+1\right)\times {(5-1)}[/tex] .

donc divisible aussi par 2 , et par 2 fois le premier membre.

Yassine · 23-04-2013 18:50:39

J'ai fini par trouver un article qui détaille ces factorisations.
By the way, la forme générale de cette factorisation est [tex](2y^2)^2+1 = (2y^2 - 2y + 1)(2y^2 + 2y + 1)[/tex], ce qui donne le résultat donné par freddy pour [tex]y=2^n[/tex].

freddy · 23-04-2013 12:10:02

Re,

voilà les p'tits gars Décompositions Aurifeuille ... Si certains connaissent, merci de nous faire partager !

freddy · 23-04-2013 11:29:03

Yassine a écrit :

J'ai vérifié également (j'étais surpris par cette factorisation que je n'avais jamais vue auparavant).
ça ne marche pas pour le cas général. ça marche uniquement lorsque [tex]X=2[/tex] car [tex]2 \times X^{2n+1} = X^{2n+2}[/tex]. Ca reste nénamoins intéressant comme factorisation.

Re,

pardon, en effet, oui , ce n'est que pour [tex]X=2[/tex] puisque on était sur le nombre n° 2. D'ailleurs, en développant, on "voit" immédiatement que ce n'est valable que pour [tex]X = 2[/tex] ...

Par contre, pour bien la voir, j'ai pris le symbole X car je trouvais que c'était beau.

Je vous dirai le nom du mathématicien plus tard :-))

Yassine · 23-04-2013 10:23:21

Donc, solution complète au post #20. Merci freddy.

yoshi · 23-04-2013 10:09:32

Re,

@arfr
Euh... cher ami, j'ai déjà apporté une preuve à 10 h 08 que ça n'était vrai que pour X = 2, et faux en général (preuve pour X = 3 via Python) soit il y a 32 min !
M'enfin c'est pô grave... Voilà une preuve supplémentaire pour X = 1...

Faut penser à lire les réponses des autres avant de poster... ^_^

Mais je pense que freddy a dû s'emballer et extrapoler (la facto donnée) au cas général, sans vérifier.
Reste encore maintenant à montrer que [tex]2^{1007}+2^{504}+1[/tex] est terminé par 5.
Mais, c'est simple.

@+

[EDIT]Avec [tex] 2^{2016}+1[/tex] on peut faire [tex]\left(2^{672}\right)^3+1^3=\left(2^{672}+1\right)\left(2^{1344}-2^{672}+1\right)[/tex]
Je cherchais une astuce comme ça depuis un moment, mais je n'aurais pas trouvé celle proposée : trop particulière : c'était bien vu !

Yassine · 23-04-2013 10:03:19

J'ai vérifié également (j'étais surpris par cette factorisation que je n'avais jamais vue auparavant).
ça ne marche pas pour le cas général. ça marche uniquement lorsque [tex]X=2[/tex] car [tex]2 \times X^{2n+1} = X^{2n+2}[/tex]. Ca reste nénamoins intéressant comme factorisation.

arfr · 23-04-2013 09:40:52

freddy a écrit :

"demande et il te sera donné !" ... J'ai eu l'opportunité de questionner l'auteur du sujet.
Le n° 2 se résout simplement à la condition expresse de connaître une factorisation "magique", savoir [tex]X^{4n+2}+1=\left(X^{2n+1}-X^{n+1}+1\right)\left(X^{2n+1}+X^{n+1}+1\right)[/tex]
A encadrer dans toutes les salles de cours, on la doit à un Français !

C'est faux déjà pour X = 1 !!!

yoshi · 23-04-2013 09:08:13

Bonjour,

Euh.....
[tex][(X^{2n+1}+1) - X^{n+1}][(X^{2n+1}+1) +X^{n+1}]=(X^{2n+1}+1)^2 - (X^{n+1})^2[/tex]
D'où
[tex][(X^{2n+1}+1) - X^{n+1}][(X^{2n+1}+1) +X^{n+1}]=(X^{2n+1})^2+2X^{2n+1}+1 - (X^{n+1})^2[/tex]
et
[tex][(X^{2n+1}+1) - X^{n+1}][(X^{2n+1}+1) +X^{n+1}]= X^{4n+2}+2X^{2n+1}- X^{2n+2}+1[/tex]
Bizarre...

Voyons, voyons...
[tex]2^{2014}=(2^{2\times 503+1})^2[/tex] d'où X = 2 et n=503.

Si je suis cette factorisation et que je la développe, alors
[tex][(2^{1007}+1) - 2^{504}]\times[(2^{1007}+1) +2^{504}]=(2^{1007}+1)^2 - (2^{504})^2[/tex]

D'où
[tex][(2^{1007}+1) - 2^{504}]\times[(2^{1007}+1) +2^{504}]=(2^{1007})^2+2\times 2^{1007}+1 - 2^{1008}[/tex]
et
[tex][(2^{1007}+1) - 2^{504}]\times[(2^{1007}+1) +2^{504}]= 2^{2014}+2^{1008}- 2^{1008}+1 = 2^{2014}+1[/tex]

Bon, effectivement, c'est vrai.
Cette factorisation ne fonctionne que parce que X = 2...

Mais je maintiens que le cas général est faux :
[tex]X^{4n+2}+1 \neq \left(X^{2n+1}-X^{n+1}+1\right)\left(X^{2n+1}+X^{n+1}+1\right)[/tex]...

J'ai montré que :
[tex][(X^{2n+1}+1) - X^{n+1}][(X^{2n+1}+1) +X^{n+1}]= X^{4n+2}+2X^{2n+1}- X^{2n+2}+1\neq X^{4n+2}+1[/tex]

Encore une preuve avec un contre-exemple :

Python 2.6 (r26:66721, Oct 2 2008, 11:35:03) [MSC v.1500 32 bit (Intel)] on win32
Type "copyright", "credits" or "license()" for more information.
****************************************************************
Personal firewall software may warn about the connection IDLE
makes to its subprocess using this computer's internal loopback
interface. This connection is not visible on any external
interface and no data is sent to or received from the Internet.
****************************************************************

IDLE 2.6.4
>>> ((2**1007+1)-2**504)*((2**1007+1)+2**504)== 2**2014+1
True
>>> ((3**1007+1)-3**504)*((3**1007+1)+3**504)== 3**2014+1
False
>>>

@+

freddy · 23-04-2013 07:42:45

Salut,

"demande et il te sera donné !" ... J'ai eu l'opportunité de questionner l'auteur du sujet.

Le n° 2 se résout simplement à la condition expresse de connaître une factorisation "magique", savoir [tex]X^{4n+2}+1=\left(X^{2n+1}-X^{n+1}+1\right)\left(X^{2n+1}+X^{n+1}+1\right)[/tex]

A encadrer dans toutes les salles de cours, on la doit à un Français !

freddy · 21-04-2013 21:42:04

Salut,

@yassine : on pêche de tout sur le net, donc possible que le sujet ne soit pas net ... Aucun moyen de le vérifier.

Yassine · 21-04-2013 08:53:12

Comme disait feu Georges Marchais à un journaliste qui lui faisait remarquer que ce n'était pas la question posée : "Peut-être, mais c'est ma réponse !".
Est-ce que par hasard, le deuxième nombre ne serait pas [tex]2^{2014}-1[/tex], auquel cas, la difficulté serait homogène a celle des deux autres nombres.

▼Ceci est ma réponse

J'utilise le symbole de legendre [tex]\left(\frac{a}{p}\right)[/tex] et la propriété [tex]\left(\frac{ab}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right) \times \left(\frac{b}{p}\right)[/tex]
qui donne pour les puissances [tex]\left(\frac{a^n}{p}\right)=\left(\frac{a}{p}\right)^n[/tex]
Le critère d'Euler dit que [tex]a^{\frac{p-1}{2}} \equiv \left(\frac{a}{p}\right) \ [p][/tex] pour [tex]p[/tex] premier.

Cas 1: [tex]3^{2013}+1[/tex]
D'abord, on constate que le nombre en question est pair, on a donc un premier diviseur : 2.
Ensuite, on décompose 2013 en facteurs premiers : [tex]2013 = 3 * 11 * 61[/tex] et on écrit [tex]3=\frac{7-1}{2}[/tex].
Le critère d'Euler donne [tex](3^{11 \times 61})^{\frac{7-1}{2}} \equiv \left(\frac{3^{11 \times 61}}{7}\right) \ [7][/tex]
On a par ailleurs [tex]\left(\frac{3^{11 \times 61}}{7}\right)=\left(\frac{3}{7}\right)^{11 \times 61}=(-1)^{11 \times 61}=-1[/tex]
Donc [tex]3^{2013} \equiv -1 \ [7] \Longleftrightarrow 3^{2013} + 1 \equiv 0 \ [7][/tex].
Il s'ensuit donc que [tex]3^{2013} + 1 = 2 \times 7 \times k, k > 1[/tex]

Cas 3: [tex]5^{2015}-1[/tex]
5 impair, donc [tex]5^{2015}[/tex] est impair, donc [tex]5^{2015}-1[/tex] est divisible par 2.
D'autre par [tex]2015=5 \times 13 \times 31[/tex] et [tex]5 = \frac{11-1}{2}[/tex]. Le critère d'Euler donne :
[tex](5^{13*31})^{\frac{11-1}{2}} \equiv \left(\frac{5^{31*13}}{11}\right) \ [11] = \left(\frac{5}{11}\right)^{31*13}=1[/tex]
donc [tex]5^{2015}-1 \equiv 0 \ [11] [/tex]
et finalement [tex]5^{2015}-1 =2 \times 11 \times k, k > 1[/tex]

Cas 2: [tex]2^{2014}+1[/tex]

On constate que [tex]4^{2k+1} \equiv 4 \ [5][/tex], comme par ailleurs 2014=2*19*53, il vient que [tex](2^2)^{19*53} \equiv 4 \ [5][/tex], et donc [tex]2^{2014} +1 \equiv 0 \ [5].[/tex]
On utilise ensuite la factorisation suivante : [tex]2^{4n+2}+1=\left(2^{2n+1}-2^{n+1}+1\right)\left(2^{2n+1}+2^{n+1}+1\right)[/tex], comme [tex]2014=4*503+2[/tex], on peut alors écrire [tex]2^{2014}+1=\left(2^{2*503+1} + 2^{503+1}+1\right)\left(2^{2*503+1} - 2^{503+1}+1\right)[/tex]. Comme [tex]5[/tex] divise le produit et qu'il est premier, il divise forcément un des deux membres, ce qui termine la démonstration.

Cas 2Bis, : [tex]2^{2014}-1[/tex]

On constate que [tex]2^{2014}-1 = (2^{19*53}-1)(2^{19*53}+1)[/tex] et que [tex]53=\frac{107-1}{2}[/tex].
Par ailleurs, [tex]\left(\frac{2}{107}\right)=-1[/tex], donc [tex](2^{19})^{\frac{107-1}{2}} \equiv -1 \ [107][/tex] et donc [tex]2^{19*53}+1 \equiv 0 \ [107] [/tex].
On a finalement [tex]2^{2014}-1=(2^{19*53}-1)\times 107 \times k, k > 1[/tex]

A vous lire.

[EDIT] Correction LaTex du symbole de Legendre.
[EDIT2] Incorporation de la factorisation de freddy pour terminer la démonstration des 3 cas plus un cas supplémentaire.

freddy · 20-04-2013 21:42:16

Salut,

j'en suis au même stade.

J'explore pour le 2 la piste suivante : [tex]2014=2^{11}-2^5-2[/tex] On retrouve 5 comme facteur, et on remarque que [tex]228 = 2^8-2^5-2^2[/tex]

...

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