Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Bonjour
L' exo est de montrer par l'absurde qu'une forme bilinéaire continue n'est pas coercive. J'ai commencé à faire la preuve et je n'arrive pas à la finir.
les hypothèses:
[tex]\lambda_{w,g}[/tex] sont des des fonctions [tex]C^1([0,1])[/tex] telles que [tex]0 \leq \lambda_{w,g}(S) \leq 1.[/tex]
[tex]\rho_{w,g}[/tex] sont des fonctions monotones et de classe [tex]C^1[/tex] sur [tex]\mathbb{R},[/tex] et elle sont bornée.
On note
\begin{align*}
& a((\varphi_w,\varphi_g),(\varphi_w,\varphi_g)) = \displaystyle\int_{\varOmega} \rho_w(\overline{R},\overline{S}) \lambda_w(\overline{S}) K \nabla \varphi_w \nabla \varphi_w dx\\[10pt]
& + \displaystyle\int_{\varOmega} \rho_g(\overline{R},\overline{S}) \lambda_g(\overline{S}) K \nabla \varphi_g \nabla \varphi_g dx + \eta \displaystyle\int_{\varOmega} \nabla (\varphi_w - \varphi_g) \varphi_w dx\\[10pt]
& + \eta \displaystyle\int_{\varOmega} \nabla (\varphi_g - \varphi_w) \nabla \varphi_g dx\\[14pt]
& = \displaystyle\int_{\varOmega} \rho_w(\overline{R},\overline{S}) \lambda_w(\overline{S}) K |\nabla \varphi_w|^2 dx + \displaystyle\int_{\varOmega} \rho_g (\overline{R},\overline{S}) \lambda_g(\overline{S}) K |\nabla \varphi_g|^2 dx\\[10pt]
& + \eta ||\nabla \varphi_w||^2_{L^2} + \eta ||\nabla \varphi_g||^2_{L^2} - 2 \eta \displaystyle\int_{\varOmega} \nabla \varphi_w \nabla \varphi_g dx
\end{align*}

On montre l'existence de [tex]\nu[/tex] par l'absurde. On suppose que [tex]a[/tex] n'est pas coercive, dans ce cas on a:
[tex]\forall \nu > 0, \exists (\varphi_w,\varphi_g) \in (H^1_{\Gamma_1}): a((\varphi_w,\varphi_g),(\varphi_w,\varphi_g)) < \nu ||(\varphi_w,\varphi_g)||^2_{H^1_{\Gamma_1}}[/tex]

On choisit [tex]||(\varphi_w,\varphi_g)||^2_{H^1_{\Gamma_1}} = ||\varphi_w||^2_{H^1_{\Gamma_1}} + ||\varphi_g||^2_{H^1_{\Gamma_1}}[/tex]

On a donc en particulier, en prenant [tex]\nu = \dfrac{1}{n}.[/tex]

[tex]\forall n \in \mathbb{N}, \exists (\varphi_w^n,\varphi_g^n) \in (H^1_{\Gamma_1})^2: a((\varphi_w^n,\varphi_g^n),(\varphi_w^n,\varphi_g^n)) < \dfrac{1}{n} (||\varphi_w^n||^2_{H^1_{\Gamma_1}} + ||\varphi_g^n||^2_{H^1_{\Gamma_1}})[/tex]

On prend [tex]||(\varphi^n_w,\varphi_g^n)||^2 = 2[/tex] (i.e., [tex]||\varphi_w^n||^2 = 1[/tex] et [tex]||\varphi_g^n||=1[/tex])
Ainsi, [tex]a(\varphi_w^n,\varphi_g^n),(\varphi_w^n,\varphi_g^n)) < \dfrac{2}{n}[/tex]

De plus, on a:
\begin{align*}
& \displaystyle\int_{\varOmega} \rho_w(\overline{R},\overline{S}) \lambda_w(\overline{S}) |\nabla \varphi_w^n|^2 dx + \displaystyle\int_{\varOmega} \rho_g(\overline{R},\overline{S}) \lambda_g(\overline{S}) K |\nabla \varphi_g^n|^2 dx\\[10pt]
& + \eta ||\nabla \varphi_w^n||^2_{L^2} + \eta ||\nabla \varphi_g^n||^2_{L^2} - 2 \eta \displaystyle\int \nabla \varphi_w^n \nabla \varphi_g^n dx < \dfrac{2}{n} \rightarrow 0
\end{align*}

donc
\begin{align*}
& \displaystyle\int_{\varOmega} \rho_w(\overline{R},\overline{S}) \lambda_w(\overline{S}) |\nabla \varphi_w^n|^2 dx + \displaystyle\int_{\varOmega} \rho_g(\overline{R},\overline{S}) \lambda_g(S) K |\nabla \varphi_g^n| dx\\[10pt]
& \eta \displaystyle\int_{\varOmega} \nabla (\varphi_w^n - \varphi_g^n)^2 dx < \dfrac{2}{n} \rightarrow 0 \quad \mbox{quand} n \mbox{tend vers} + \infty
\end{align*}

Chaque terme étant positif:
\begin{align*}
& \displaystyle\int_{\varOmega} \rho_w(\overline{R},\overline{S}) \lambda_w(\overline{S}) |\nabla \varphi_w^n|^2 dx \rightarrow 0\\[10pt]
& \displaystyle\int_{\varOmega} \rho_g(\overline{R},\overline{R}) \lambda_g(\overline{S}) K |\nabla \varphi_g^n|^2 dx \rightarrow 0\\[10pt]
& \eta \displaystyle\int_{\varOmega} \nabla (\varphi_w^n - \varphi_g^n)^2 dx \rightarrow 0
\end{align*}

Comment finir?

Merci Roro!

Autre question s'il te plait. Comment on fait pour montrer que $a(u,v)$ est coercive en utilisant l'absurde?

Merci d'avance.

Salut Roro
mon problème est que je ne sais pas quelle norme identifier sur [tex](H^1_0)^2[/tex] je ne sais pas dutout

Bonjour,
soit la formee bilinéaire $$a((u_1,u_2),(v_1,v_2)) = \displaystyle\int_{\Omega} C_1 \nabla u_1 \nabla v_1 dx + \displaystyle\int_{\Omega} C_2 \nabla u_2 . \nabla v_2 dx + c_4 \displaystyle\int_{\Omega} \nabla (u_1-u_2) . \nabla v_1 dx + C_4 \displaystyle\int_{\Omega} \nabla (u_2 - u_1) . \nabla v_2 dx$$ pour tout [tex](v_1,v_2) \in (H^1_0)^2[/tex]

on montre que $a$ est coercive, ce qu'il revient à montrer qu'il existe [tex]\nu > 0[/tex] telle que [tex]|a(v_1,v_2),(v_1,v_2)| \geq \nu ||(v_1,v_2)||^2_{H^1_0}.[/tex]

Par l'inégalité de Poincaré, je trouve que [tex]|a(v_1,v_2),(v_1,v_2)| \geq c_5 ||v_1||^2_{H^1_0} + c_6 ||v_2||^2_{H^1_0}.[/tex]

Ma question est: comment conclure la coercivité?

---------------------------------------------------------
Merci