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Hello !

Si [tex]\sum{U_n}[/tex] converge alors [tex]U_n[/tex] converge vers 0 en l'infini ! Ainsi pour ton contre-exemple MathRack, il y a un problème, [tex]\sum{U_n}[/tex] doit converger par hypothèse mais ton terme général ne tend pas vers 0 : remplacer [tex]1/n[/tex] par [tex]1/n^2[/tex] n'y change rien, on ne fait que converger plus vite vers 1.

Pour étudier la série de terme général [tex]V_n=n(U_{n-1}-U_n)[/tex] on peut montrer que sa somme partielle est égale à [tex]\sum_{k=0}^{n-1}{U_k}-nU_n[/tex].

Or, pour tout n supérieur à 1 [tex]V_n[/tex] est positif car [tex](U_n)_{n\geq 0}[/tex] est décroissante, il suffit donc de montrer que [tex]\sum_{k=0}^{n-1}{U_k}-nU_n[/tex] est majorée pour tout n pour démontrer que [tex]\sum V_n[/tex] converge. Ce qui est le cas vu que [tex]\sum U_k[/tex] converge.

Donc [tex]\sum V_n[/tex] converge.

Enfin j'aimerais dire que : [tex]\sum V_n[/tex] converge implique que la série [tex]\sum nU_n[/tex] converge et donc que son terme général tend vers 0.

Mais, écrire la dernière ligne me gêne beaucoup... Mais ça me semble être ce que veux l'exercice.
En notant [tex]a_n[/tex] et [tex]b_n[/tex] les suites des sommes partielles respectives de [tex]nU_{n-1}[/tex] et [tex]nU_n[/tex] écrire [tex]\sum V_n[/tex] converge c'est équivalent à écrire que :
[tex]\lim(a_n-b_n)=l[/tex] avec [tex]a_n[/tex] et [tex]b_n[/tex] positives

Et pour moi ça n'empêche pas [tex]a_n[/tex] et [tex]b_n[/tex] de diverger ... Il faut surement faire autre chose de plus fin ou sinon j'ai pas compris quelque chose !

Choukos

On suppose [tex] U_n = 1 + \frac{1}{n} [/tex]. La suite est à termes positifs, convergente et décroissante. On n'a pas [tex] lim( n U_n ) = 0 [/tex] car [tex] n U_n = n + 1[/tex] diverge.

Es-tu certain de l'énoncé?

Cordialement,
Mathrack

EDIT: au temps pour moi, je n'avais pas bien fait attention au signe somme. Dans l'exemple, on peut remplacer [tex]\frac{1}{n}[/tex] par [tex]\frac{1}{n^2}[/tex]. Dans ce cas, la somme des termes converge bien et est positive. La suite [tex]U_n[/tex] est décroissante. Et [tex]n U_n[/tex] diverge. Les utilisateurs plus expérimentés du forum ont peut-être déjà vu un exercice similaire et pourront éclaircir tout ça...

Bonjour Like,

Je ne suis pas certain de l'énoncé. La suite [tex]U_n[/tex] converge vers une limite positive [tex]U[/tex] car elle est décroissante, minorée et à termes positifs.

Si [tex]U[/tex] est strictement positif, alors [tex]n U_n[/tex] se comporte comme [tex]n U[/tex] qui ne va pas tendre vers 0...