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Bonjour,

[tex]\bullet[/tex] Tout d'abodrd pour la définition de  [tex]g[/tex], il faut prendre : [tex]g(0)=\frac{1}{2} \phi'' (0)[/tex].
[tex]\bullet [/tex] Avant de  faire  la question à l'aide de l'indication de Fred, on peut simplifier la problème  car il se raméne  à démontrer la résultat suivant :
Résultat (R) :
pour tout [tex]\psi \in {\mathcal D}(\mathbb R)[/tex]  tel que [tex]\psi (0)=0[/tex], il existe [tex]h \in {\mathcal D}(\mathbb R)[/tex]  tel  que [tex]\psi= x h[/tex].

En effet , si  on suppose  démontré  ce  résultat, comme [tex]\phi(0)=0[/tex],  on  écrit [tex]\phi=xh[/tex]  avec  [tex]h \in {\mathcal D}(\mathbb R)[/tex].  On  a : [tex]\phi'=h + xh'[/tex]   et  comme  [tex]\phi'(0)=0[/tex] , alors : [tex]h(0)=0[/tex] et  par  application du  résultat de nouveau  à  [tex]h[/tex], il  existe [tex]g \in {\mathcal D}(\mathbb R)[/tex]  tel  que  [tex]h=xg[/tex]  de  sorte que [tex]\phi = x^2 g[/tex]

[tex] \bullet [/tex] Pour  démontrer le Résultat (R):
[tex] \bullet [/tex] [tex] \bullet [/tex]  Je te laisse le soin de tenter la formule de Taylor avec reste  intégrale indiquée par Fred.
[tex] \bullet [/tex] [tex] \bullet [/tex]  Voici une autre  démonstration que tu  peux  détailler davantage si besoin est  :
On poste pour  tout  [tex](t,x) \in [0,1] \times {\mathbb R}[/tex] :  [tex]F(t,x)= \psi(xt)[/tex] Alors ,  pour tout  [tex]x \in {\mathbb R}[/tex]  on  a  : [tex]\psi(x)= F(1,x) - F(0,x) = \int_0^1  \frac{\partial F}{\partial t} (t,x) dt  =  x \int_0^1  \psi'(xt) dt[/tex]
On pose  alors  [tex]h(x)=\int_0^1 \psi'(xt)  dt [/tex]   et  il  est demandé  de  :
[tex] \star[/tex] prouver  que  [tex]h[/tex]  est  de  casse  [tex]C^{\infty}[/tex], chose facile  d'après  les théorème  des  intégrales  avec  paramètre
[tex]\star[/tex] prouver que  [tex]h[/tex]  est  à  support  compact : comme  [tex]\psi [/tex]  est à  support  compact  il  existe  [tex]M > 0[/tex] tel que pour tout  nombre réel [tex]x[/tex]  tel que [tex]|x|  \geq  M[/tex] on  aie  : [tex]\psi (x)=0[/tex]
Soit  alors  [tex]x \geq  M[/tex]  Par  le  changement  de  variables :  [tex]u=xt[/tex]  on  a  :  [tex]h(x)= \frac 1x \int_0^x  \psi'(u) du  = \frac 1x ( \psi(x) - \psi (0) = 0[/tex]  car  par  hypothèse  [tex]\psi(0)=0[/tex]  et  bien  sûr   [tex]\psi [/tex]  est  nulle  pour  [tex]|x| \geq M[/tex]

Bonjour,

  Il suffit de démontrer maintenant que ta fonction g est dans [tex]\mathcal D(\mathbb R)[/tex].
La principale difficulté est de prouver qu'elle est de classe [tex]C^\infty[/tex] au voisinage de 0.
Pour cela, utilise la formule de Taylor avec reste intégral, à l'ordre 2.

Fred.