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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- amatheur
- 19-03-2012 23:36:56
salut
sympa l'astuce, c'est toujours utile de savoir comment le magicien arrive à sortir des lapins du chapeau haut de forme! ^^
A+
- Fred
- 19-03-2012 21:10:23
Salut,
@amatheur. A vrai dire, j'ai commencé par faire un raisonnement faux, à la physicienne, en disant que
[tex]e^{\frac1{n+k}}=1+\frac{1}{n+k}[/tex]
et en essayant de deviner la limite ensuite. L'utilisation de la formule de Taylor-Lagrange vient ensuite pour rendre rigoureux le raisonnement.
Fred.
- jdec
- 19-03-2012 18:32:28
Bonjour,
Donc Un = Log(2). Merci Fred
- amatheur
- 19-03-2012 17:36:01
re
comme j'aime bien comprendre comment les mathématiciens arrivent au bout de leur raisonnements, je me demande si l'usage de la formule de taylor-lagrange dans ce cas, relève-il d'une astuce à utiliser au cas par cas, ou bien es ce que ça se cache derrière des règles plus générales?
- amatheur
- 19-03-2012 16:44:42
salut
merci Fred pour ta réponse, cependant il y a un truc que je ne comprend pas; en appliquant le théorème de taylor- lagrange à l'ordre2 sur la fonction entre 0 et 1/n+k je trouve [tex]{e}^{\frac{1}{n+k}}=1+\frac{1}{n+k}+\frac{{c}_{n}}{2{\left(n+k\right)}^{2}}[/tex] , je ne comprends pas trop d'où es ce qu'elle provient la somme?
sinon pour le reste, c'est clair,
d'une part :[tex]\sum^{+\infty }_{k=1}\frac{1}{n+k}=\frac{1}{n}\sum^{+\infty }_{k=1}\frac{1}{\frac{k}{n}+1}=\int^{1}_{0}\frac{1}{1+x}dx=\ln 2[/tex]
d'autre part: [tex]\sum^{+\infty }_{k=1}\frac{{c}_{n}}{2{\left(k+n\right)}^{2}}<\sum^{+\infty }_{k=1}\frac{e}{2{n}^{2}\left(\frac{k}{n}+1\right)}=\frac{1}{2n}\int^{1}_{0}\frac{e}{{\left(x+1\right)}^{2}}dx\,\rightarrow 0\,qd\,n\rightarrow +\infty [/tex]
Merci.
- Fred
- 19-03-2012 14:13:11
Salut,
L'apparition d'une somme de Riemann n'est pas directe. Voici comment je m'y prendrais. D'abord, j'applique une formule de Taylor-Lagrange à l'ordre 2 à la fonction exponentielle, entre 0 et [tex]\frac{1}{n+k}[/tex]. Je trouve
[tex]e^{\frac1{n+k}}=1+\frac{1}{n+k}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{2(n+k)^2}c_n[/tex]
avec [tex]c_n=\exp(a)[/tex] pour a compris entre 0 et 1/(k+n). En particulier, [tex]|c_n|\leq e[/tex].
En sommant, on trouve
[tex]U_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k+n}+\sum_{k=1}^n \frac{1}{2(k+n)^2}c_n[/tex]
A droite, on peut déterminer la limite du premier terme en effectuant une somme de Riemann. Il suffit de mettre
en facteur n au dénominateur pour "voir" une somme de Riemann de 1/(1+x).
Pour la deuxième somme, on peut démontrer qu'elle tend vers 0. Par exemple, on majore [tex]c_n[/tex] par e,
et on met [tex]n^2[/tex] en facteur dans le dénominateur. On va retrouver une somme de Riemman (de la fonction [tex]x\mapsto 1/(1+x)^2[/tex]), multipliée par 1/n, ce qui va assurer la convergence vers 0.
Fred.
- amatheur
- 18-03-2012 23:06:20
salut
je suis sensé trouver la limite de la suite [tex]{U}_{n}=\sum^{n}_{k=1}{e}^{\frac{1}{n+k}}-n[/tex] en faisant apparaitre une somme de Riemann, j ai essayé de trouver une suite Vn tq [tex]\left|{U}_{n}-{V}_{N}\right|\rightarrow 0[/tex], mais en vain!; es ce que quelqu'un aurait une idée?
merci.