Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Par contre, tu remarqueras que l'on trouve plusieurs solutions à cette équation.

La solution finale de l'équation est une somme pondérée de toutes les solutions partielles trouvées précédemment.

Ce que je veux dire, c'est que dans le cas de fonctions à plusieurs variables, on ne note jamais [tex]y''[/tex] ou encore [tex]\ddot y[/tex]. On doit noter : [tex]\frac{\partial^2 y}{\partial x}[/tex].

Je réactualise mon post avec les nouvelles données...

Salut,

Je viens d'éditer mon premier post. C'est dur, mais cela avance plutôt bien.

Pour tes conditions initiales, que désigne y'' ? La dérivée selon x ou selon t ?

Bonsoir,

Deux autres petites remarques concernant cette équation :
- Selon les conditions que tu imposeras au bord du domaine, tu peux éventuellement rechercher une solution sous forme de série de Fourier, ou bien utiliser la transformée de Fourier si [tex]x\in \mathbb R[/tex].
- La méthode de séparation des variables peut te fournir des solutions mais ce serait bien de s'assurer qu'il n'y a pas d'autres solutions ! Tu peux utiliser ce qu'on appelle des estimations d'énergie pour démontrer que si tu imposes des conditions initiales (une condition sur la valeur de [tex]g[/tex] au temps initial et une condition sur la valeur de [tex]\partial_t g[/tex] au temps initial) alors il y a qu'une seule solution. Une telle "estimation" peut s'obtenir en multipliant ton équation par [tex]\partial_t g[/tex]...

Roro.

Salut,

On cherche des solutions particulières sous la forme : [tex]y(x,t) = g(x) ^~ h(t)[/tex].

Dans le cas suivant, après les simplifications d'usage, on obtient :

[tex]E ~ I ~ h(t) ~ \frac{\mathrm{d}^4 g(x)}{\mathrm{d} x^4} + m ~ g(x) ~ \frac{\mathrm{d}^2 h(t)}{\mathrm{d} t^2} + k ~ g(x) ~ h(t) = 0[/tex]

On divise l'équation obtenue par [tex]g(x) h(t)[/tex] :

[tex]E ~ I ~ \frac{1}{g(x)} ~ \frac{\mathrm{d}^4 g(x)}{\mathrm{d} x^4} + m ~ \frac{1}{h(t)} ~ \frac{\mathrm{d}^2 h(t)}{\mathrm{d} t^2} + k = 0[/tex]

On peut montrer assez facilement que cette condition n'est remplie pour tout x et tout t que si [tex]E ~ I ~ \frac{1}{g(x)} ~ \frac{\mathrm{d}^4 g(x)}{\mathrm{d} x^4}[/tex] et [tex]m ~ \frac{1}{h(t)} ~ \frac{\mathrm{d}^2 h(t)}{\mathrm{d} t^2}[/tex] sont constants.

On pose alors : [tex]E ~ I ~ \frac{1}{g(x)} ~ \frac{\mathrm{d}^4 g(x)}{\mathrm{d} x^4} = k_x[/tex] et [tex]m ~ \frac{1}{h(t)} ~ \frac{\mathrm{d}^2 h(t)}{\mathrm{d} t^2} = k_y[/tex].

On a alors : [tex]k_x  + k_y = k[/tex].

La seconde équation se résout facilement :

[tex]h(t) = A_t ~ \exp{\left( -\sqrt{\frac{k_y}{m}} ~ t \right)}  + B_t ~ \exp{\left( \sqrt{\frac{k_y}{m}} ~ t \right)}[/tex] avec [tex]A_t[/tex] et [tex]B_t[/tex] des constantes complexes.

La seconde ne peut se résoudre facilement qu'en utilisant les conditions aux limites :

[tex]g(0) = g(l) = 0[/tex]
[tex]\frac{\mathrm{d}^2 g(0)}{\mathrm{d} x^2} = \frac{\mathrm{d}^2 g(l)}{\mathrm{d} x^2} = 0[/tex]

On cherche alors une solution de la forme :

[tex]g(x) = \sum_{n = 0}^{+\infty} A_n \sin{\left( \frac{2 \pi n x}{l} \right)}[/tex]

Cette forme respecte les conditions aux limites.

Après un peu de calcul, on obtient [tex]A_n = 0[/tex] OU [tex]k_x = E ~ I ~ \left( \frac{2 \pi n}{l} \right) ^4[/tex].

g n'admet donc une solution de cette forme que si [tex]k_x = E ~ I ~ \left( \frac{2 \pi n_x}{l} \right) ^4[/tex] et cette solution est : [tex]g(x) = A_x \sin{\left( \frac{2 \pi n_x x}{l} \right)}[/tex] avec [tex]n_x[/tex] un entier naturel supérieur à 0.

Plus qu'à recoller les bouts...

Bonne chance pour la suite !
Hadrien