Forum de mathématiques - Bibm@th.net

@jpp et freddy : au temps pour moi. Je viens de corriger mon post précédent.

salut à tous.

@thadrien ,

tu écris :  [tex]y = x^2 + x + 1[/tex]

                [tex]x = y^2 + y + 1[/tex]    jusque là d'accord. mais si tu retranches membre à membre , tu dois avoir:

                [tex]x - y = y^2 - x^2 + y - x[/tex]  . si bien qu'après factorisation par [tex](y - x)[/tex] , celà donne:

                [tex](y - x).(y + x) + 2.(y - x) = 0 \; \Rightarrow  (y - x).(y + x + 2) = 0[/tex]

et là , 2 cas :
                    1)   [tex](y - x) = 0  -->x^2+1 = 0          \Rightarrow  \begin{cases}x_1&=-i\\x_2&=i\end{cases}[/tex]

                    2)   [tex]y + x + 2 = 0  --> x^2 + x + 1 + x + 2 = 0 --> x^2 + 2x + 3 = 0[/tex]

                         et les 2 autres racines sont:               [tex]\begin{cases}x_3&=-1 -i.\sqrt2\\x_4&=-1+i.\sqrt2\end{cases}[/tex]

                                                                                 à plus.

Salut,

@jpp : vraiment bien ta solution ! Il aurait fallu la proposer à science et vie junior à l'époque. C'est hélas un peu tard : le numéro en question a plus de 10 ans. Depuis, le niveau de science et vie junior a hélas bien baissé. :-(

Bref, je poste maintenant la solution originale :

On se sert de la symétrie du problème : on pose [tex]y = f(x)[/tex]. Alors, l'équation de départ devient :

[tex]y = f(x)[/tex]
[tex]x = f(y)[/tex]

On substitue [tex]f(x)[/tex] par son expression complète :

[tex]y = x^2 + x + 1[/tex]
[tex]x = y^2 + y + 1[/tex]

On soustrait membre à membre :

[tex]y = x^2 + x + 1[/tex]
[tex]x - y = x^2 - y^2 + x - y[/tex]

On factorise par [tex]x - y[/tex] :

[tex]y = x^2 + x + 1[/tex]
[tex](x - y) = (y - x)(y + x) + (y - x)[/tex]

On regroupe tous les termes de la seconde équation dans le membre de droite et on factorise par [tex](y - x)[/tex] :

[tex]y = x^2 + x + 1[/tex]
[tex](y - x)(x + y + 2) = 0[/tex]

On distingue alors deux cas :

Cas numéro 1 : [tex]x - y = 0[/tex]. Alors [tex]y = x[/tex] et donc [tex]x = x^2 + x + 1[/tex] puis [tex]x^2 + 1 = 0[/tex]

Solutions : [tex]\pm i[/tex].

Cas numéro 2 : [tex]x + y + 2= 0[/tex]. Alors [tex]y = - 2 - x[/tex] et donc [tex]- 2 - x = x^2 + x + 1[/tex] puis [tex]x^2 + 2 x + 3 = 0[/tex].

Solutions : [tex]-1 \pm i \sqrt{2}[/tex].

Conclusion : les solutions de l'équation [tex]f(f(x)) = x[/tex] avec [tex]f(x) = x^2 + x + 1[/tex] sont [tex]\pm i[/tex] et [tex]-1 \pm i \sqrt{2}[/tex].

Dans le problème original, les solutions étaient réelles toutes les quatre, de mémoire, mais je ne me souviens plus du trinôme alors employé.

Have a lot of fun !

Salut,

C'est pas si affreux que cela... Si on a un polynôme de degré 4 qui peut se résoudre de cette manière, on arrive très facilement, par identifications successives, à trouver tous les coefficients :

- Identification du coefficient de [tex]x^4[/tex] -> coefficient a.

- Identification du coefficient de [tex]x^3[/tex] et coefficient a -> coefficient b

- Identification du coefficient de [tex]x[/tex] et coefficients a et b -> coefficient c

Ensuite, on vérifie les coefficients de [tex]x^2[/tex] et le terme constant.

Je posterai la méthode que j'avais en tête ce weekend. En tout cas, vraiment, ce sujet aura été constructif !

salut
très belle remarque Roro, la prochaine étape est de définir le "sous-groupes" des polynômes de degrés 4 qui peuvent être résolus de cette manière.. ça mérite un peu de réflexion!
A+

Bonsoir,

J'aurais bien une idée de la méthode : pour obtenir les racines d'un polynôme de degré 4, il vaut mieux en connaître quelques unes (j'oublie les formules tortueuses donnant explicitement ces racines). Et dans le cas présent, on en connaît au moins 2 (i et -i). Il reste ensuite à trouver les deux autres qui doivent être racines d'un polynôme de degré 2, donc ce n'est pas trop difficile !

Mais si on n'a pas vu les "racines évidentes", ou par exemple si le polynôme f était le suivant : [tex]f(x) = x^2-3x+5[/tex] on pourrait tout aussi bien résoudre l'équation [tex]f(f(x))=x[/tex].

Il suffit en effet de remarquer que si [tex]f(x)=x[/tex] alors ce [tex]x[/tex] vérifie aussi [tex]f(f(x))=x[/tex]. Autrement dit, les "racines évidentes" de mon polynôme de degré 4 : [tex]f(f(x))-x[/tex] seront celles du polynôme (de degrè 2) [tex]f(x)-x[/tex].

Je ne sais pas si c'est très clair, mais je poste cette réponse car je me suis demandé si on pouvait trouver ce type d'astuce pour résoudre par exemple [tex]f(f(f(x))) = x[/tex] où [tex]f[/tex] est un polynôme de degré 2 donné...

Bonne nuit,
Roro.

P.S. Je n'ai pas vraiment cherché de réponse à ma dernière question, il est possible qu'elle soit "triviale" !

salut.

si j'ai bien compris le problème  [tex]x^4 + 2x^3 + 4x^2 + 2x + 3 = 0[/tex]   donne 4 racines complexes

[tex]x_1 = -1 + i\sqrt2[/tex]
[tex]x_2 = -1 - i\sqrt2[/tex]
[tex] x_3 = + i[/tex]
[tex] x_4 =  - i[/tex]

                                                                      à plus.