Forum de mathématiques - Bibm@th.net

Salut.
C'était bien une erreur dans l'énoncé.
Merci encore une fois.

Je vous prie de m'excuser pour cette faute dans l'énoncé.
Merci beaucoup Monsieur.

Re,

Bon, je suis face à un gros problème, quand je reconstruis le dessin avec GeoLabo à partir des égalités vectorielles données (et non plus à partir des résultats obtenus) pour [tex]\overrightarrow{MP}\;\text{et}\;\overrightarrow{MQ}[/tex] et que je déplace le point M sur le cercle [tex]\Phi[/tex], non seulement PQ n'a pas toujours une longueur constante, mais O' n'est pas toujours sur [PQ] (alors que ce n'est pas le cas pour une construction à partir des résultats de la Q3)...
Bug de GeoLabo ? Je l'ai refait 5 à 6 fois...

Quelque chose clocherait-il dans cet énoncé ?

@+
[EDIT]
Par contre, quoique la construction des points P et Q ne changerait pas, ni les résultats, si le cercle [tex]\Phi[/tex] était le cercle circonscrit au triangle ABC rectangle en A, son centre serait O et la longueur OM serait constante et PQ = 4OM aussi !!!

Je teste ça tout de suite avec GeoLabo...

Bonjour à tous.

Bonne année et bonne santé à vous tous.
ABC est un triangle rectangle en A.O est le milieu de [BC].
[tex]\phi[/tex] est le cercle inscrit dans le triangle ABC.
I est le milieu de [OA].
A tout point M du plan on associe les points P et Q tels que :
[tex]\vec{MP}=2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}[/tex]  et  [tex]\vec{MQ}=2\vec{MA}-\vec{MB}-\vec{MC}[/tex].
1°)Montrer que I est barycentre du système pondéré {(A;2)(B;1)(C;1)}.
2°)Montrer que P et Q sont les images de M par deux transformations qu'il faut définir.
3°)[tex]M\in\phi[/tex].
     a)déterminer l'ensemble des points P et Q quand M varie sur [tex]\phi[/tex].
     b)O' est le symétrique de O par rapport à A.Quelle est la nature du quadrilatère OMQO'?
     c)montrer que  [tex]O'\in[PQ][/tex] et que PQ est constant.

Solution.
1°)I milieu de [OA] est isobarycentre de {(O;1)(A;1)} ou bien {(O;2)(A;2)} mais O milieu de [BC] est isobarycentre de {(B;1)(C;1)}.La propriété de l'associativité du barycentre permet d'écrire I barycentre de {(A;2)(B;1)(C;1)}.
2°) [tex]\vec{MP}=2\vec{MA}+\vec{MB}+\vec{MC}[/tex] [tex]\Longleftrightarrow[/tex] [tex]\vec{MI}+\vec{IP}=2\vec{MI}+2\vec{IA}+\vec{MI}+\vec{IB}+\vec{MI}+\vec{IC}[/tex] .Après les simplifications on obtient
[tex]\vec{IP}=-3\vec{IM}[/tex].P est l'image de M par l'homothétie de centre I et de rapport (-3).
On fait de meme avec l'autre relation et on obtient [tex]\vec{MQ}=2\vec{OA}[/tex] .Q est l'image de M par la translation de [tex]2\vec{OA}[/tex].
3°)a)l'image d'un cercle par l'homothétie h(I;-3) est un cercle de centre I' =h(I) et de rayon 3R(R étant le rayon du cercle inscrit dans ABC).L'image de'un cercle par la translation T de vecteur 2OA est un cercle de meme rayon.
b)T(O)=O' car [tex]\vec{OO'}=2\vec{OA}[/tex] et T(M)=Q donc [tex]\vec{MQ}=2\vec{OA}[/tex] donc [tex]\vec{OO'}=\vec{MQ}[/tex].OMQO' est un parallélogramme.
c)On peut montrer facilement que h(O)=O'.Le point O a meme image par T et h.
h(M)=P et h(O)=O' donc [tex]\vec{O'P}=-3\vec{OM}[/tex] ....(1)
T(M)=Q et T(O)=O' donc [tex]\vec{O'Q}=\vec{OM}[/tex]........(2)
On fait (1)-(2) on obtient [tex]\vec{PQ}=4\vec{OM}[/tex] et comme [tex]\vec{OM}=\vec{O'Q}[/tex] on a:
[tex]\vec{PQ}=4\vec{O'Q}[/tex].O' appartient à (PQ).
Je ne sais pas comment montrer que la distance PQ est constante.
Merci beaucoup de m'aider.