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Résumé de la discussion (messages les plus récents en premier)
- abdoullah
- 01-01-2012 18:34:30
Merci beaucoup totomm.
- totomm
- 01-01-2012 16:50:52
Bonjour,
La démonstration de la réciproque demandée par abdoullah est parfaitement légitime.
Supposons que le point M de coordonnées (X, Y, Z) soit sur l'hyperboloïde de révolution H : [tex]X^²+Y^²=Z^²+2[/tex].
Par une rotation autour de l'axe oz on peut ramener le point M en P de coordonnées (0, Y', Z) sans perdre en généralité, avec [tex]Y^{'²}=Z^²+2[/tex].
Définissons alors un paramètre t tel que [tex] Z=-\sqrt{2}tan(t)[/tex]
On en déduit [tex] Y^{'²}=2 tan^²(t) +2\ \ soit\ Y^'=- \frac{\sqrt2}{cos(t)}[/tex]
(On choisit le signe - pour égalité dans les équations finales)
La droite Dt passe par le point de coordonnés [tex] (\sqrt2sin(t),- \sqrt2cos(t), 0 )[/tex]
Et a pour paramètres directeurs[tex] (cos(t), sin(t), 1)[/tex]
On vérifie que le point P est bien sur la droite Dt en vérifiant :
[tex]\frac{0-\sqrt{2}sin(t)}{cos(t)}=\frac{Y^'+\sqrt{2}cos(t)}{sin(t)}=\frac{Z}{1}[/tex] CQFD.
Cordialement
- freddy
- 01-01-2012 14:35:06
Re,
Fred t'a déjà donné une indication, donc je pense que tu as tout en main pour faire ce que tu veux. Retrouve l'équation paramétrique de ta droite dans l'espace ...
- abdoullah
- 01-01-2012 14:31:17
Salut
Euh Dsl mais je ne pense pas que Freddy a résonné par équivalence car je pense que l'inplication :
x²+y²=z²+2 => ( ∃t∈R ): x-zcos(t)= √(2)*sin(t) et y-zsin(t)=- √(2)*cos(t)
n'est pas si évidente que ça.
Veuillez me répondre et merci encore pour vos réponses.
- amatheur
- 01-01-2012 13:12:29
salut tous le monde
bonne année, et puisse les mathes prospérer sur ce site et partout dans le monde!
je crois comprendre ou es ce que tu bloque abdoullah; remarque que freddy procède par équivalence entre les expressions, alors ça va dans les deux sens!
- abdoullah
- 01-01-2012 12:04:26
Salut Jpp et Freddy merci pour vos réponses
Mais j'ai besoin de l'autre inclusion c-a-d l'autre implication qui est :
x²+y²=z²+2 => ([tex]\exists t \in R[/tex]): x-zcos(t)=[tex]\sqrt{2}sin(t)[/tex] et y-zsin(t)=-[tex]\sqrt{2}cos(t)[/tex]
Merci pour vos réponses.
- jpp
- 01-01-2012 11:40:42
salut à tous , bonne santé et mathes toute l'année.
en conséquence , on peut conclure que la courbe d'équation [tex]x^2 + y^2 = z^2 + 2[/tex] est une quadrique
doublement règlée appelée hyperboloide de révolution à une nappe.
à plus.
- freddy
- 01-01-2012 08:59:51
Bonsoir SVP j'ai une question :
*Soit "H" l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient :
[tex] x^2+y^2=z^2+2[/tex]
*Et soit Dt la famille de droites définie par :
|[tex]x-zcos(t)=\sqrt{2}sin(t)[/tex]
|[tex]y-zsin(t)=-\sqrt{2}cos(t)[/tex]
La question c'est qu'on me demande de prouver l'égalité Dt = H
*Pour Dt inclu dans H je l'ai faite
Mais ma question sur l'autre inclusion : H inclu dans Dt
Merci d'avance pour vos réponses.
Salut et bonne année,
ça a l'air simple :
[tex]x^2=(z\cos t+\sqrt{2}\sin t)^2=z^2 cos^2 t+2z\sqrt{2}\cos t sin t +2\sin^2 t[/tex]
[tex]y^2=(z\sin t-\sqrt{2}\cos t)^2=z^2 sin^2(t)-2z\sqrt{2}\cos t sin t+2\cos^2 t[/tex]
Tu sommes et tu obtiens : [tex] x^2+y^2=z^2+2[/tex]
- abdoullah
- 31-12-2011 18:05:57
Bonsoir SVP j'ai une question :
*Soit "H" l'ensemble des points dont les coordonnées vérifient :
x²+y²=z²+2
*Et soit Dt la famille de droites définie par :
|[tex]x-zcos(t)=\sqrt{2}sin(t)[/tex]
|[tex]y-zsin(t)=-\sqrt{2}cos(t)[/tex]
La question c'est qu'on me demande de prouver l'égalité Dt = H
*Pour Dt inclu dans H je l'ai faite
Mais ma question sur l'autre inclusion : H inclu dans Dt
Merci d'avance pour vos réponses.