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Salutn

  Ce n'est pas complètement facile... Ce qu'il faut faire, c'est prouver que
[tex]\sup_{x\in[-\pi,\pi]}|f_n(x)|[/tex] tend vers 0.

Pour cela, il y a essentiellement deux méthodes :
* Méthode 1: on essaie de majorer directement [tex]|f_n(x)|[/tex] par quelque chose qui ne dépend pas de x et qui tend vers 0.
Cela n'a pas l'air si facile ici.

* Méthode 2 : on étudie les fonctions f_n pour essayer de déterminer le maximum de [tex]|f_n(x)|[/tex]
On commence par dériver et on trouve que
[tex]f_n'(x)=\sin^{n-1}(x)(n\cos^2 x-\sin^2 x)[/tex]
On remplace encore [tex]\sin^2 x[/tex] par [tex]1-\cos^2 x[/tex], pour trouver que

[tex]f_n'(x)=\sin^{n-1}(x)\big((n+1)\cos^2x -1\big)[/tex]

Les points où la dérivée s'annule sont ceux pour lesquels
[tex]\sin^{n-1}(x)=0[/tex] ou [tex]\cos^2 x=\frac 1{n+1}[/tex]
Les premiers donnent [tex]f_n(x)=0[/tex]
Pour les seconds, on ne peut malheureusement pas calculer expliciter les valeurs de x pour lesquelles
[tex]\cos^2 x=\frac 1{n+1}[/tex]
Mais si on remplace directement dans l'expression de [tex]f_n[/tex], on trouve qu'en ces points
[tex]|f_n(x)|\leq 1\times \frac 1{\sqrt{n+1}}[/tex]

Ainsi, on a démontré que
[tex]\sup_{x\in\mathbb R}|f_n(x)|\leq \frac1{\sqrt{n+1}}[/tex]
ce qui prouve la convergence uniforme de la suite vers 0.

Fred.