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Bonjour alain01,

Je vais essayer de répondre avec des termes simples...

1 - La notion de dérivée, apparemment tu connais. Je résume

Tu prends une fonction f qui à un nombre réel [tex]x[/tex] associe un autre nombre réel, que l'on note [tex]f(x)[/tex].
Ceci peut se résumer par [tex]f:x\in \mathbb R \mapsto f(x)\in \mathbb R[/tex].
On dit que la fonction f est dérivable en un réel [tex]x_0[/tex] si la limite suivante existe :

[tex]\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.[/tex]

Si ce nombre réel existe, on le note [tex]f'(x_0)[/tex].
On peut ainsi définir une nouvelle fonction [tex]f':x_0 \longmapsto f'(x_0)[/tex] : c'est la dérivée de f.

2 - La différentielle est en fait une généralisation de cette notion à des fonctions f plus "complexes".
Imagine par exemple une fonction f qui a deux nombres réels [tex]x[/tex] et [tex]y[/tex] associe un troisième nombre réel [tex]f(x,y)[/tex].
Si tu essayes de définir la notion de dérivée comme dans le premier cas, tu vas écrire (attention c'est faux !)

[tex]\displaystyle \lim_{(h,k)\to 0} \frac{f((x_0,y_0)+(h,k))-f((x_0,y_0))}{(h,k)}.[/tex]

Pourquoi ne peut-on pas le faire ? Parce que j'ai diviser par un vecteur [tex](h,k)[/tex] et que c'est pas bien !

3 - L'idée est donc de voir la dérivée de façon différente (sans faire de division par exemple).
On peut dire (ce qui revient au 1) que f est dérivable en [tex]x_0[/tex] si on peut écrire

[tex]\displaystyle f(x_0+h) = f(x_0) + \ell h + h \varepsilon(h) \qquad \text{avec} \quad \lim_{h\to 0} \varepsilon (h) = 0.[/tex]

Le nombre réel [tex]\ell[/tex] qui apparait ici est alors appelé la dérivée de f en [tex]x_0[/tex], c'est le [tex]f'(x_0)[/tex] du point 1.
Si on veut comprendre la suite, il faut imaginer que [tex]\ell[/tex] est une application qui à l'accroissement [tex]h[/tex] associe presque l'accroissement de [tex]f(x_0+h) - f(x_0)[/tex].

4- L'intéret de cette formulation est qu'elle peut se généraliser à notre fonction du point 2 : on dit que f est différentiable en [tex](x_0,y_0)[/tex] si il existe [tex]\ell[/tex] et [tex]\varepsilon[/tex] telles qu

[tex]\displaystyle f((x_0,y_0)+(h,k)) = f(x_0,y_0) + \ell (h,k) + h \varepsilon(h,k) \qquad \text{avec} \quad \lim_{(h,k)\to (0,0)} \varepsilon (h,k) = 0.[/tex]

La différentielle de f en [tex](x_0,y_0)[/tex] est alors ce [tex]\ell[/tex] qui est une application qui à l'accroissement [tex](h,k)[/tex] associe presque l'accroissement de [tex]f((x_0,y_0)+(h,k)) - f((x_0,y_0))[/tex].
Ce n'est pas simplement un nombre réel mais ce qu'on appelle une application linéaire...

Le vocabulaire différentiel est juste un choix pour parler de dérivée pour des fonctions de plusieurs variables.

Au final, il y a plein de façons différentes de présenter cet objet...

Roro.